Статистическая физика

[zask]

Нет, они появились в связи с переходом к большому каноническому ансамблю. При этом, очевидно, без $N!$ нельзя обойтись, иначе не получится разложение экспоненты для распределения Пуассона, например.

Причем, похоже, что Гиббса натолкнуло на эту мысль рассмотрение ансамбля, состоящего из разных сортов частиц.

Мне кажется, если Вы хотите доказать "слабую" обоснованность этого множителя у Гиббса, то необходимо хорошенько вникнуть в его работу, ссылку на которую я вам дал. Полное "отсутствие" обоснования, как я думаю, обосновать не удастся.

Вот, в частности, цитата из этой работы, касающаяся напрямую этих 2-х сортов фаз (выделение мое):

"Сущность статистического рав-
новесия состоит в постоянстве числа систем, находящихся в любых задан-
ных фазовых пределах. Поэтому следует определить, как понимать термин
«фаза» в подобных случаях. Если две фазы отличаются только тем, что некото-
рые совершенно одинаковые частицы поменялись местами в фазовом простран-
стве, то следует ли рассматривать такие фазы как одинаковые или как различ-
ные? Если частицы считаются неразличимыми, то, по всей видимости, духу
статистического метода будет соответствовать рассмотрение этих фаз как оди-
наковых. Фактически мы могли бы утверждать, что в таком ансамбле систем,
как рассматриваемый, невозможно идентифицировать частицы различных
систем иначе, как по их качественным характеристикам; поэтому если v
частиц одной системы описаны как полностью одинаковые между собой и
с v частицами другой системы, то уже не остается никаких признаков, на # ото-
рых можно основывать отождествление любой конкретной частицы первой
системы с любой конкретной частицей второй. И это было бы справедливо,
если бы все системы ансамбля одновременно обладали объективным существо-
ванием. Однако это едва ли относится к объектам, рожденным нашим вооб-
ражением. В случах, которые мы рассматривали, и в случаях, которые
будут рассматриваться далее, мы не только можем представить себе движение
ансамбля одинаковых систем попросту как всевозможные варианты движения
одной системы, но и в действительности мы прибегали к понятию ансамбля
систем именно ради более ясного представления всевозможных вариантов
движения одной системы. Полное подобие различных частиц системы ничуть
не препятствует отождествлению какой-либо конкретной частицы в одном слу-
чае с какой-либо конкретной частицей в другом. Этот вопрос следует решать
в соответствии с требованиями практического удобства при рассмотрении
задач, которыми мы занимаемся."

Мне кажется, можно даже сказать, что Гиббс предвосхитил принцип тождественности частиц, хотя и не имел такой опоры как КМ.

[druggist]

zask в сообщении #670123 писал(а):

Мне кажется, если Вы хотите доказать "слабую" обоснованность этого множителя у Гиббса, то необходимо хорошенько вникнуть в его работу, ссылку на которую я вам дал. Полное "отсутствие" обоснования, как я думаю, обосновать не удастся.

Давайте все же заглянем в ЛЛ5ч1, параграф 40 "Неравновесный идеальный газ", стр143, где выводится статистика Больцмана.(стоит также для сравнения посмотреть и параграф 54 для вывода квантовых статистик)
Суть в том, что система делится на небольшие "макрокуски" по смежным(в смысле энергии) состояниям частицы. Подсчитывается число микросостояний для каждого куска(статвес) берется логарифм(энтропия). Далее ищется максимум функционала (принцип максимума энтропии) при ограничении на полную энергию и число частиц (метод Лагранжа). Так вот, на стр 143 множитель $1/N!$ вводится, как бы это сказать, как некая локальная характеристика куска совершенно жульническим способом: сначала все частицы объявляются различимыми, а затем в пределах куска они почему-то становятся неразличимыми. Хотя совершенно ясно откуда в выражении для общего статвеса(равного произведению статвесов кусков) появляются множители типа $1/N!$: из-за перестановок частиц по всем кускам. Но при этом возникает проблема с неаддитивностью общей энтропии газа.

[zask]

druggist в сообщении #670176 писал(а):

сначала все частицы объявляются различимыми, а затем в пределах куска они почему-то становятся неразличимыми.

Об этом же пишут Румер, Рывкин в ссылке, которую я приводил. Но это другой вопрос, прочитайте $\S\S$ 63,36 из их книги.

Ладно, цитирую. $\S$ 63 (выделение мое):

"Появление в знаменателях всех этих выражений множителя $N!$
мотивируется следующим образом. В силу квантовомеханического
принципа неразличимости частиц (симметричность или
антисимметричность волновых функций) состояния, отличающиеся
перестановками частиц друг с другом, должны рассматриваться как
одно и то же состояние. Суммирование по энергетическим
уровням в выражениях для $Z, Q, X$ это автоматически учитывает.
Однако при переходе к интегрированию по $\Gamma$-пространству мы
либо должны интегрировать не по всему $\Gamma$-пространству (точки
$\Gamma$-пространства, отличающиеся перестановкой координат и
импульсов молекул друг с другом, не должны учитываться как
различные точки), либо, если мы интегрируем по всем значениям $p_i, q_i$
независимо друг от друга, вносимая при этом ошибка должна
компенсироваться делением на полное число перестановок $N$
молекул, равное $N!$.
Отметим, что, несмотря на внешнее сходство и несомненно
имеющуюся глубокую связь этого приема с искусственным
приемом Гиббса в теории идеального газа (§ 36), между ними
существует принципиальное различие. Прием Гиббса применялся в
рамках распределения Максвелла — Больцмана, основанного на
неверной гипотезе о различимости микрочастиц и имеющего смысл
только как предельный случай правильных формул Ферми—Дирака
и Бозе —Эйнштейна. Как мы уже подчеркивали, этот прием
логически несостоятелен.
В противоположность этому, прием, описанный в этом
параграфе, вообще не опирается ни на какие физические гипотезы и
применяется в рамках точных статистических распределений —
канонического, большого канонического и т. д. Он представляет
собой чисто математический прием, позволяющий проще вычислить
интегралы по $\Gamma$-пространству, не выделяя в нем физически
эквивалентные области. "

$\S$ 36:

"В классической теории Больцмана этот недостаток теории
формально по предложению Дж. В. Гиббса «исправлялся»
следующим образом. Предлагалось состояния газа, отличающиеся
друг от друга перестановкой изображающих точек в ($\mu$-простран-
стве, физически неразличимые вследствие тождественности
молекул, считать одним состоянием. Это приводит к необходимости
разделить число способов W на число перестановок молекул N!.
Следовательно, из $S^*$ следует вычесть $\ln N!$ и согласно формуле
Стирлинга «исправленная» таким образом «энтропия» $S^*$
совпадает с S. (Формула распределения Максвелла — Больцмана при
этом не изменится, так как мы изменили $\ln W$ на константу
$N\ln N - N$.)
Достойна восхищения прозорливость Гиббса, предвосхитившего
еще в конце XIX в. современную концепцию неразличимости
частиц. Однако с логической точки зрения прием, использованный
им для устранения парадокса энтропии, ни в какой мере не может
считаться последовательным. Действительно, в этом рассуждении
сначала, при выводе распределения Максвелла — Больцмана,
частицы газа рассматриваются как различимые и лишь в
окончательном результате вводится «поправка», учитывающая
тождественность состояний, отличающихся перестановками молекул. Логически
последовательный способ рассуждения основан на гипотезе
неразличимости частиц и приводят к распределениям Бозе — Эйнштейна
или Ферми —Дирака. Распределение же Максвелла — Больцмана
появляется при этом лишь как приближенное в предельном случае
малых чисел заполнения. "

[druggist]

Не понял, причем здесь параграф 63? Это только более общий способ вывода квантовых статистик. Да, элементы ансамбля предполагаются различимыми как и в методе Больцмана, но частицы то по определению с самого начала неразличимы

[zask]

druggist в сообщении #670258 писал(а):

Не понял, причем здесь параграф 63? Это только более общий способ вывода квантовых статистик.

Может Вам все-таки самому прочитать параграф? Там идет речь о классических системах.

[druggist]

Вот, читаю: параграф 63*, третий абзац начинается так:

Цитата:

Мы будем рассматривать квантовомеханические системы с кванто-
квантованными значениями энергии.

И чего Вы мне голову морочите?

[zask]

druggist в сообщении #670511 писал(а):

И чего Вы мне голову морочите?

Напрягитесь, пожалуйста, долистайте до с. 298 и 299. Я понимаю, 10 страниц это много, но наука требует жертв ). И, пожалуйста, спокойнее, я не подряжался нянчиться с Вами, ведь здесь не детский сад "Ручеек".

[druggist]

zask в сообщении #670433 писал(а):

Может Вам все-таки самому прочитать параграф? Там идет речь о классических системах.

druggist в сообщении #670511 писал(а):

Мы будем рассматривать квантовомеханические системы с кванто-
квантованными значениями энергии.

Разговор окончен

[zask]

druggist в сообщении #670623 писал(а):

Разговор окончен

Как все запущено. Вот Вам цитата из $\S$ 63, с. 298

"Обсудим теперь вопрос о переходе к классическому описанию
с непрерывно меняющейся энергией. Этот переход должен
совершаться с помощью замены величин ..."

Вы что, неврастеник? У Вас, что такая лабильная психика?