2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 22:00 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Давайте уж сразу из матана, чтобы все поняли ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 22:04 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Oleg Zubelevich в сообщении #667289 писал(а):
а можно пример, желательно из диф. уравнений или функана?

Я не специалист, но сразу приходит в голову соответствие Римана—Гильберта (обобщение 21-ой проблемы Гильберта; Сато, Кашивара...), которое формулируется на языке производных категорий. Ключевые слова — микролокальный анализ, D-модули, превратные пучки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 22:20 


10/02/11
6786
apriv в сообщении #667296 писал(а):
(обобщение 21-ой проблемы Гильберта; Сато, Кашивара...), которое формулируется на языке производных категорий

сама проблема, как пишут здесь http://www.ima.umn.edu/preprints/June90Series/660.pdf была решена Болибрухом, посмотрел соответствующие тексты, теории категорий не обнаружил.
Если обобщение этой проблемы само сформулировано в категорных терминах на уровне постановки задачи, тогда это понятно, но это не то очем я спрашивал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 22:41 
Заслуженный участник


08/01/12
915
21-ая проблема Гильберта говорит о римановых поверхностях, то есть, о многообразиях размерности 1. Упомянутое обобщение касается многообразий произвольной размерности, и при желании его (пусть и не в полной общности) можно формулировать и без производных категорий (нужно правильно понять, какой там аналог монодромии)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 22:49 


10/02/11
6786
Во всяком случае, спасибо. Я этот вопрос несколько раз задавал, Вы отвечаете наиболее содержательно. Я сталкивался с теорией категорий в текстах по функциональным пространствам (интерполяция пространств $[L^p,L^q]$ и т.п.) и в учебнике Хелемского по функциональному анализу. В обоих случаях сложилось впечатление, что это некоторая красивая игрушка, которая по существу дела ничего не добавляет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 23:31 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Про функциональный анализ все еще проще — достаточно посмотреть на работы Гротендика по банаховым пространствам, которые пронизаны духом теории категорий. Например, то, что сейчас называется «неравенством Гротендика» (с константой Гротендика) у него изначально сформулировано как эквивалентность каких-то двух функторов (хоть и без слова «функтор»); позднее Картье переформулировал это как неравенство для матриц. Ну, и введение топологии на тензорном произведении двух локально выпуклых пространств тоже показывает функториальный стиль мышления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #667327 писал(а):
Во всяком случае, спасибо.

Вау. Редкий день, он войдёт в анналы форума.


-- 05.01.2013 02:01:18 --

apriv в сообщении #667271 писал(а):
учебник для школьников — F. W. Lawvere, R. Rosebrugh, «Sets for Mathematics», и Lawvere еще много чего на эту тему написал (и на тему теории топосов вообще).

Спасибо, скачал, буду пытаться читать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 01:59 


10/02/11
6786
apriv в сообщении #667344 писал(а):
Про функциональный анализ все еще проще — достаточно посмотреть на работы Гротендика по банаховым пространствам, которые пронизаны духом теории категорий. Например, то, что сейчас называется «неравенством Гротендика»

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... ndieck.pdf
теории категорий не обнаружил, в данной редакции, по крайней мере, так, что пока убедительного "да" в ответ на мой вопрос не просматривается :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 12:03 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Это же не работы Гротендика, правда? Мало ли чему можно постфактум (лет через тридцать) дать элементарное доказательство, совершенно безыдейное. Стиль мышления в прорывных работах Шварца и Гротендика по функциональному анализу совершенно категорный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 12:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В теории $C^*$-алгебр, которую можно считать разделом функционального анализа, базовые результаты формулируются проще всего в терминах эквивалентности категорий. Еще есть некоммутативная геометрия. Еще сейчас довольно модная вещь "Operator Space Theory", наука о подпространствах $B(H)$. У меня сейчас не очень удобный интернет, я позже могу привести ссылки (впрочем, довольно многое легко гуглится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #667458 писал(а):
Еще есть некоммутативная геометрия.

Кстати, а на эту тему чего-нибудь простое и вводное посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Не знаю, самый ли это удачный вариант, но сам автор довольно интересен, в том числе и для физиков (слушал его курс)

http://www.maths.qmul.ac.uk/~majid/Teac ... Cnotes.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение05.01.2013, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group