2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное интегрирование
Сообщение26.12.2012, 13:13 


02/11/11
124
Как численно вычислить интеграл
$$
\int_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x\sqrt x} \, dx ?
$$
К 0 стремится функция на бесконечности но отрезать хвост не получается - остаток большой... Как быть, если нужно его посчитать вручную с точностью до $10^{-3}$?

Можно сделать немного по частям, тогда получится $\int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ Но как с ним работать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение26.12.2012, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
По частям не надо (в эту сторону сходимость ухудшается). Первые 10 волн считаем численно руками, честно, а дальше - часть с единицей считаем аналитически, часть с косинусом представляем рядом, считая $1\over x^{3/2}$ приблизительно постоянным на каждой волне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 10:48 


02/11/11
124
но ведь считая значения $\frac{1}{x^{3/2}}$ приблизительно постоянным, там получится ряд, который выглядит почти как $\zeta(3/2),$ которую тоже надо как-то считать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну и что? Возьмите первую тыщу членов, жалко, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:23 


02/11/11
124
Вручную? Тыщщу? ох...
Я вот как сделал. Если действительно считать эту функцию на каждой волне постоянной, то тогда интеграл от косинуса на каждой волне будет 0, а вот
$$
\int\limits_{k\cdot \pi}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{k\pi}}
$$

Для нужной погрешности (если посчитать не руками), получается, что формулы $$\int\limits_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}\approx \frac{2}{\sqrt{k\pi}} + \int\limits_0^{k\pi} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}$$ достаточно для $k=4.$ Ну правда если не считать точность вычисления интеграла. Вопрос, как это нормально доказать, чем оценить разность этих величин? Получается, например, $\int\limits_{k\pi}^{\infty} \frac{|\cos(x)|}{x \sqrt{x}}$ и непонятно , как показать, что при $k>4$ он меньше $10^{-3}$ (ну или при бОльших $k$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну э... Не руками же в буквальном смысле Вы считаете численно первую часть интеграла?
В моём методе вместо "волна" везде следует читать "полуволна".
Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:48 


02/11/11
124
А как считать первую часть интеграла?
ИСН в сообщении #663962 писал(а):
Первые 10 волн считаем численно руками

Задача учебная и дается в рамках некоторого курса как "решить на бумажке без использования чего либо".

ИСН в сообщении #664322 писал(а):
Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.


И как его оценить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 12:07 


14/01/11
2916
А если сначала доказать, что он равен $\sqrt{2\pi}$, а уже это значение оценивать численно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 12:39 


02/11/11
124
А как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 14:00 


14/01/11
2916
Вроде такие интегралы считаются с помощью вычетов, возьмите какой-нибудь учебник по ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 16:07 


02/11/11
124
Ну все-таки хотелось бы численно(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group