2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 13:16 


12/06/11
16
ИСН в сообщении #663956 писал(а):
Здесь можно придраться к вопросу, в какие именно точки прямой переходят концевые точки отрезка, но сейчас важнее другое.

-- Ср, 2012-12-26, 13:55 --

А то, что чётных чисел столько же, сколько всех натуральных, и нечётных тоже столько же, а и тех и других вместе - опять столько же, это Вам как? Нормально?


Нормально, их ведь можно занумеровать(сравнить с эталоном $N$).

ewert в сообщении #663958 писал(а):
ewert


Не очень Вас понял, ибо скудны мои познания. взаимно-однозначное соответствие вроде бы должно иметь место с геометрической точки зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну так и точки отрезка можно, эээ, "занумеровать" действительными числами. Смотрите, отрезок равномощен прямой. Значит, два отрезка уж никак не меньше. Но и не больше - ведь они в неё входят. Не меньше и не больше. Что остаётся?

(Оффтоп)

Да, я осознаю, что занимаюсь грубой и циничной манипуляцией. И мне это нравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #663963 писал(а):
Что остаётся?

Ответ на этот вопрос требует знания теоремы с не совсем интуитивно ожидаемым доказательством. Вопрос, знаком ли с этой теоремой вопрошающий. Если нет, то, может, легче через явную биекцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 15:25 


12/06/11
16
ИСН в сообщении #663963 писал(а):
Ну так и точки отрезка можно, эээ, "занумеровать" действительными числами. Смотрите, отрезок равномощен прямой. Значит, два отрезка уж никак не меньше. Но и не больше - ведь они в неё входят. Не меньше и не больше. Что остаётся?

(Оффтоп)

Да, я осознаю, что занимаюсь грубой и циничной манипуляцией. И мне это нравится.

Очевидно равномощность.

olenellus в сообщении #663977 писал(а):

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #663963 писал(а):
Что остаётся?

Ответ на этот вопрос требует знания теоремы с не совсем интуитивно ожидаемым доказательством. Вопрос, знаком ли с этой теоремой вопрошающий. Если нет, то, может, легче через явную биекцию?


Вчера приступил к изучению, посему скуден :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну вот и всё. Значит, равномощны.
Будут ещё вопросы - обращайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 15:48 


12/06/11
16
ИСН в сообщении #664021 писал(а):
Ну вот и всё. Значит, равномощны.
Будут ещё вопросы - обращайтесь.

Большое спасибо :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 20:01 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Теорема, что из $|A|\leqslant|B|$ и $|B|\leqslant|A|$ следует $A\simeq B$ — нетривиальна. И, кажется, требует аксиому выбора. Так что...

Так что отобразите взаимно-однозначно $(-\infty,0)$ на $(a,b)$, а $(0,+\infty)$ — на $(a',b')$. Получите биекцию между $\mathbb R\mathbin{\diagdown}\{0\}$ и $[a,b]\cup[a',b']\mathbin{\diagdown}\{a,b,a',b'\}$.

Дальше либо забейте на разницу в три точки (раз у вас множества бесконечны), либо аккуратно передоопределите эту биекцию до биекции между $\mathbb R$ и $[a,b]\cup[a',b']$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 20:44 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Joker_vD в сообщении #664131 писал(а):
Теорема, что из $|A|\leqslant|B|$ и $|B|\leqslant|A|$ следует $A\simeq B$ — нетривиальна. И, кажется, требует аксиому выбора. Так что...

Аксиомы выбора она не требует. Вообще, меня удивляет огромное количество задач вида «установите явную биекцию». В большинстве из них равномощность очевидным образом следует из этой самой теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Таких задач ровно столько, сколько нужно. Эта - не из их числа (см. первое сообщение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение26.12.2012, 23:41 


14/04/12
60
ИСН в сообщении #664161 писал(а):
Таких задач ровно столько, сколько нужно. Эта - не из их числа (см. первое сообщение).

Это значит, что между существующими задачами и "сколько нужно" можно установить биекцию? Доказательство в студию, пожалуйста :P Ну да ладно, с этим всё ясно, неясно другое: почему в условии оговорено, что отрезки не пересекаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение27.12.2012, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Потому что тогда это был бы тупо один отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность двух отрезков.
Сообщение27.12.2012, 00:20 


14/04/12
60
А, у нас ведь всё одномерное! Тогда ясно. Хотя это ничего не меняет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group