задача по функану

[malen'kui matematik]

Добрый день,товарищи математики. есть задачка:доказать,что множество всех алгебраических многочленов всюду плотно в пространстве $C^1[a,b]$ ?
Для понимания, я рассмотрел пространство $C[a,b]$.Применяя теорему Вейерштрасса,утверждение будет доказано.
Рассматривая нужное пространство я столкнулся с трудностью.чтобы доказать нужный факт,мне кажется, надо применить теорему Вейерштрасса к производной и к функции. $\max|f' +Q_n (x)|<\varepsilon$.это применение для производной, а вот для функции:$\max|f(x) +P_n (x)|<?$ так чтобы $P'_n=Q_n$. как оценить данное выражение? И ещё 1 вопрос,какая норма в данном пространстве?

[ИСН]

Какая норма - хороший вопрос, особенно в конце. "Мужики, вот здесь постройте мост, а я пока позвоню в Москву и узнаю, где надо было."
Допустим, Вам надо нахлобучить и функцию, и производную. Ну и что? У функции есть производная? Вы её приблизили многочленом? Насколько они различаются? Значит, насколько могут различаться интегралы от них?

[malen'kui matematik]

не понимаю,что вы имеете ввиду?

-- 26.12.2012, 16:21 --

я тут кое что откопал про норму пространства $C^1$
$||f||=\max|f(x)|+\max|f'(x)|$,где в 1 слагаемом $x \in \mathbb[a,b]$,а во втором $x \in \mathbb(a,b)$ это верно?

[ИСН]

Я бы сказал проще, но тогда получится ещё сложнее. Вы хотите что-то сделать с функцией. У Вашей функции есть производная. Да или нет? Вы её (производную) приблизили многочленом. Да или нет?

[malen'kui matematik]

ну про производную в условии ничего не сказано,но раз у нас пространство $C^1$,это не значит что она там есть и она непрерывна? а по поводу многочлена...ну вроде бы да, мы её приблизили многочленом $P_n$

[ИСН]

Так. Приблизили. Насколько хорошо приблизили? То есть, на какую величину отличаются эта производная и тот многочлен?

[malen'kui matematik]

ну как,не больше чем эпсилон..или нет?

[ИСН]

Так. Хорошо. Теперь берём первообразную от производной (это и будет первоначальная функция) и от многочлена (это будет другой многочлен). Эти двое, чувствуется, тоже как-то в каком-то смысле близки, но как?

[malen'kui matematik]

ну у многочлена от которого мы нашли первообразную,степень выше на 1

[ИСН]

Возможно, но какое это имеет отношение к вопросу? По-моему, никакого. Важно ли нам, что многочлен - это многочлен? По-моему, нет. Тупо есть две функции, различающиеся не более, чем на $\varepsilon$, и мы хотим знать, на какую величину разойдутся их первообразные.

[malen'kui matematik]

ну может тоже на $\varepsilon$?

[ИСН]

Обобщению предшествует накопление фактов. Пусть отрезок у нас - $[0;10]$, функции $y=x$ и $y=1.001x$, $\varepsilon=0.01$. Верно ли, что функции различаются не более, чем на $\varepsilon$? А что там с первообразными?

[malen'kui matematik]

не понимаю,как использовать отрезок и для чего нам 2-ая функция,ведь мы рассматриваем функцию и её производную,и проверяем отличаются они на многочлен или нет..

[ИСН]

В математике в каждый момент рассматриваются только те свойства объекта, которые важны сейчас. Кому-то он кореш Вася, а кому-то - подследственный Сидоров. Поэтому я с какого-то места начал говорить о многочлене как о функции (ведь он же тоже функция, правда?), и, стало быть, о разности между двумя функциями. Я полагаю, что на этом пути Вам удастся получить оценку разности между первообразными. А Вы куда хотите двигаться?

[malen'kui matematik]

безусловно многочлен-это функция. Я хотел бы приблизится к своей задаче,ибо я всё больше и больше теряю с ней связь,а двигаться хочу к решению