Свободный электрон + линейно поляризованная плоская волна

[ZumbiAzul]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Помогите решить задачку со следующим условием:

Цитата:

Показать, что траектория свободного электрона в линейно поляризованной плоской монохроматической волне $\overrightarrow{E}=E_0 \cos(\omega t-kx) \overrightarrow e_y$ может быть представлена как

$$kx=\frac{a_o^2}{4} (\phi + \frac{\sin(2\phi)}{2}), ky=-a_0 \sin(\phi), kz=0,$$

где $k=\frac{\omega}{c}, \phi=\omega t-kx, a_0=\frac{eE_0}{m\omega c}, e - \text {заряд электрона}, m - \text {масса электрона.} $

Эту задачку можно решить разными способами, но здесь нужно с помощью второго закона Ньютона, где в правой части стоит сумма электрической силы и магнитной силы Лоренца.

Спасибо!

[BISHA]

ZumbiAzul в сообщении #657497 писал(а):

Помогите решить задачку

Запишите два раза второй закон Ньютона. Первый раз через напряженность электрического поля и координату $x$, а второй - через индукцию магнитного поля и координату $y$. Индукцию находите через энергию волны. Смело приступайте к решению дифференциального уравнения.

[ZumbiAzul]

BISHA в сообщении #657544 писал(а):

Смело приступайте к решению дифференциального уравнения.

Это все было сделано)
Проблема как раз в решении дифференциального уравнения=) Точнее системы из двух дифференциальных уравнений... Не могли бы Вы попробовать решить задачку и, если получится, сказать как разрешить систему?)

[ZumbiAzul]

Вот ход моего решения (вплоть до системы дифференциальных уравнений).

Задано электрическое поле

$$\overrightarrow{E}=E_0 \cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_y}.\eqno (1)$$

Из уравнений Максвелла нахожу магнитное поле в виде:

$$\overrightarrow{H}=-\frac {E_0}{c} \cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_z}.\eqno (2)$$

Т.е. волна бежит вдоль оси Ox, вектор электрического поля $\overrightarrow{E}$ направлен всегда параллельно оси Oy, а магнитного $\overrightarrow{H}$ - параллельно оси Oz.
Далее, пишу второй закон Ньютона в виде

$$m\overrightarrow{a} = -e\overrightarrow{E}-\frac{e}{c}[\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{H}].\eqno (3)$$

Далее, расписываю по компонентам векторное произведение:

$$[\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{H}]=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_x} & \overrightarrow{e_y} & \overrightarrow{e_z} \\ v_x & v_y & v_z \\ 0 & 0 & H_z \end{vmatrix}=v_y H_z\overrightarrow{e_x}-v_x H_z\overrightarrow{e_y}+0\overrightarrow{e_z}=v_y H_z\overrightarrow{e_x}-v_x H_z\overrightarrow{e_y}=\dot{y} H_z\overrightarrow{e_x}-\dot{x} H_z\overrightarrow{e_y}.\eqno (4)$$

Подставляю (4) во второй закон Ньютона (3), расписав по компонентам ускорение $\overrightarrow{a}=\ddot{x}\overrightarrow{e_x}+\ddot{y}\overrightarrow{e_y}+\ddot{z}\overrightarrow{e_z}$ и деля обе части на массу $m$:

$$\ddot{x}\overrightarrow{e_x}+\ddot{y}\overrightarrow{e_y}+\ddot{z}\overrightarrow{e_z}=\frac{-eE_0}{m}\cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_y}+\frac{eE_0}{mc^2}\dot{y}\cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_x}-\frac{eE_0}{mc^2}\dot{x}\cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_y}.\eqno (5)$$

Приравнивая одинаковые компоненты в левой и правой частях уравнения (5), получается следующая система дифференциальных уравнений:

$$ \begin{cases} \ddot{x}=\frac{eE_0}{mc^2}\dot{y}\cos(\omega t-kx);\\ \ddot{y}=\frac{-eE_0}{m}\cos(\omega t-kx)-\frac{eE_0}{mc^2}\dot{x}\cos(\omega t-kx). \end{cases} \eqno (6)$$

Можно понизить порядок производных, записав систему уравнений для скоростей электрона:

$$ \begin{cases} \dot{v}_x=\frac{eE_0}{mc^2}v_y\cos(\omega t-kx);\\ \dot{v}_y=\frac{-eE_0}{m}\cos(\omega t-kx)-\frac{eE_0}{mc^2}v_x\cos(\omega t-kx). \end{cases} \eqno (7)$$

Вот дальше этого места я и не могу продвинуться . Помогите мне, пожалуйста!

[Physman]

В принципе, можно продифференцировать одно из уравнений из (6) ил (7) ещё раз (пусть 1-е), и подставить второе ур. в первое. Тогда получится уравнение для $v_x$, а $v_y$ уйдёт. Потом, получив $v_x$, можно будет найти и 2ю компоненту.

[ZumbiAzul]

Physman в сообщении #657693 писал(а):

В принципе, можно продифференцировать одно из уравнений из (6) ил (7) ещё раз (пусть 1-е), и подставить второе ур. в первое. Тогда получится уравнение для $v_x$, а $v_y$ уйдёт. Потом, получив $v_x$, можно будет найти и 2ю компоненту.

Можете, пожалуйста, показать, как это сделать? У меня все равно не получается только одно уравнение. Вот, например, первое уравнение:

$$\ddot{v}_x=\frac{eE_0}{mc^2}\left\{\dot{v}_y\cos(\omega t-kx)-v_y\omega\sin(\omega t-kx)\right\}.$$

Т.е. опять входит скорость $v_y$. Как мне от нее избавиться, не понимаю .

[Himfizik]

ZumbiAzul
Узнайте точно, что требуется. Получить аналитическое решение системы дифференциальных уравнений или проверить решение из условия. Если второе, то достаточно подставить его в Вашу систему уравнений до получения тождества (лично я так понял условие, иначе чего это Вам сразу ответ сказали).

[ZumbiAzul]

Himfizik в сообщении #657738 писал(а):

ZumbiAzul
Узнайте точно, что требуется. Получить аналитическое решение системы дифференциальных уравнений или проверить решение из условия. Если второе, то достаточно подставить его в Вашу систему уравнений до получения тождества (лично я так понял условие, иначе чего это Вам сразу ответ сказали).

Да, Вы правы, что слово "показать" может означать что-угодно. Однако, надо именно решить задачу, решить так, как если бы ответ был неизвестен. А сам ответ дан для самоконтроля. Кстати, я и подставлять пробовал, но что-то не сходится...

[Himfizik]

ZumbiAzul в сообщении #657747 писал(а):

что-то не сходится

Я если честно со всем вниманием не вникал в Ваше решение. У меня уже время позднее. Завтра кто-нибудь, если я не поспею, Вам отпишется со своими советами.
P.S. На размерность посмотрите внимательнее. Уж не знаю на сонную голову или нет, но у Вас там по-моему что-то с ней не в порядке.

[ZumbiAzul]

Himfizik в сообщении #657749 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #657747 писал(а):

что-то не сходится

Я если честно со всем вниманием не вникал в Ваше решение. У меня уже время позднее. Завтра кто-нибудь, если я не поспею, Вам отпишется со своими советами.
P.S. На размерность посмотрите внимательнее. Уж не знаю на сонную голову или нет, но у Вас там по-моему что-то с ней не в порядке.

Хорошо, буду ждать, спасибо! С размерностью, кажется, действительно, что-то не то... Но я не знаю даже, где я мог ошибиться=(

[Ilia_]

ZumbiAzul в сообщении #657684 писал(а):

Из уравнений Максвелла нахожу магнитное поле в виде:

$$\overrightarrow{H}=-\frac {E_0}{c} \cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_z}.\eqno (2)$$

Размерность слетела уже на этом этапе. В СГС размерности $E$ и $H$ должны совпадать.

[Himfizik]

ZumbiAzul в сообщении #657765 писал(а):

Хорошо, буду ждать, спасибо!

А что тут ждать. У Вас система двух дифференциальных уравнений. Система неоднородная, то есть с ненулевой правой частью. Вам матричный формализм знаком? Если знаком, то решаете сначала однородную систему, пытаясь найти фундаментальную систему решений (задача на собственные векторы, собственные значения). Так найдете общее решение однородной системы уравнений. Частное неоднородной ищете методом вариации произвольной постоянной, если быть точнее: "методом вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме".
Все это вроде должно помочь. Весь вопрос в том, знакомы ли Вам эти методы.

[ZumbiAzul]

Himfizik в сообщении #657837 писал(а):

У Вас система двух дифференциальных уравнений. Система неоднородная, то есть с ненулевой правой частью. Вам матричный формализм знаком? Если знаком, то решаете сначала однородную систему, пытаясь найти фундаментальную систему решений (задача на собственные векторы, собственные значения). Так найдете общее решение однородной системы уравнений. Частное неоднородной ищете методом вариации произвольной постоянной, если быть точнее: "методом вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме".
Все это вроде должно помочь. Весь вопрос в том, знакомы ли Вам эти методы.

Конечно, знакомы! Сейчас попробую, позже отпишусь о результате. Спасибо!

-- Чт дек 13, 2012 16:21:36 --

Ilia_ в сообщении #657780 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #657684 писал(а):

Из уравнений Максвелла нахожу магнитное поле в виде:

$$\overrightarrow{H}=-\frac {E_0}{c} \cos(\omega t-kx) \overrightarrow{e_z}.\eqno (2)$$

Размерность слетела уже на этом этапе. В СГС размерности $E$ и $H$ должны совпадать.

Да, действительно, спасибо!

[ZumbiAzul]

Himfizik в сообщении #657837 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #657765 писал(а):

Хорошо, буду ждать, спасибо!

А что тут ждать. У Вас система двух дифференциальных уравнений. Система неоднородная, то есть с ненулевой правой частью. Вам матричный формализм знаком? Если знаком, то решаете сначала однородную систему, пытаясь найти фундаментальную систему решений (задача на собственные векторы, собственные значения). Так найдете общее решение однородной системы уравнений. Частное неоднородной ищете методом вариации произвольной постоянной, если быть точнее: "методом вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме".
Все это вроде должно помочь. Весь вопрос в том, знакомы ли Вам эти методы.

Этот формализм разве не для систем с постоянными коэффициентами? У нас ведь коэффициенты - это косинусы с фазой, зависящей от времени. Вот как выглядит однородная система (с исправленными размерностями):

$$\begin{cases} \dot{v}_x=\frac{eE_0}{mc}\cos(\omega t)v_y;\\ \dot{v}_y=-\frac{eE_0}{mc}\cos(\omega t)v_x. \end{cases} $$

Я также упростил вид фазы. Пусть будет так.=)
Получается "зацепленная" система... Чтобы "расцепить" переменные, я ввожу новые единичные орты - круговые орты по формулам:

$$e^{(+)}=-\frac{i}{\sqrt{2}}(e_x+ie_y), e^{(-)}=\frac{i}{\sqrt{2}}(e_x-ie_y).$$

Таким образом, делаю замену переменных

$$v^{(+)}=-\frac{i}{\sqrt{2}}(v_x+iv_y), v^{(-)}=\frac{i}{\sqrt{2}}(v_x-iv_y),$$

откуда

$$v_x=\frac{i}{\sqrt{2}}(v^{(+)}-v^{(-)}), v_y=\frac{1}{\sqrt{2}}(v^{(+)}+v^{(-)}).$$

Подставляя это в систему, получается следующее:

$$\begin{cases} \dot{v}^{(+)}=-i\frac{eE_0}{mc}\cos(\omega t)v^{(+)};\\ \dot{v}^{(-)}=i\frac{eE_0}{mc}\cos(\omega t)v^{(-)}. \end{cases} $$

Вопрос тогда встает, как решить любое из уравнений полученной системы?

[BISHA]

ZumbiAzul в сообщении #657684 писал(а):

Т.е. волна бежит вдоль оси Ox, вектор электрического поля $\overrightarrow{E}$ направлен всегда параллельно оси Oy, а магнитного $\overrightarrow{H}$ - параллельно оси Oz.

Волна плоская, то между векторами нет сдвига фаз.