2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение03.12.2012, 09:35 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
A1
Пусть $d_1,d_2,\dots,d_{12}$ --- вещественные числа в открытом
интервале $(1,12).$ Докажите, что найдутся
различные индексы $i,j,k$, такие что $d_i,d_j,d_k$
суть длины сторон остроугольного
треугольника.

A2
Пусть $*$ --- коммутативная ассоциативная
бинарная операция на множестве $S.$
Предположим, что для любых элементов $x$ и $y$ в $S$
найдется элемент $z$ в $S$, такой что $x*z=y.$
($z$ может зависеть от $x$ и $y.$)
Докажите, что если $a,b,c$ в $S$ и $a*c=b*c,$ то $a=b.$

A3
Пусть $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ --- непрерывная функция
такая что
(i) $f(x)=\frac{2-x^2}{2}f\left(\frac{x^2}{2-x^2}\right)$
для всех $x$ из отрезка $[-1,1],$
(ii) $ f(0)=1,$ и
(iii) предел $\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$
существует и конечен.
Докажите, что такая функция $f$
единственна и найдите $f(x)$ (в замкнутом виде).

A4
Пусть $q$ и $r$ --- целые числа,
причем $q>0,$ и пусть $A$ и $B$ ---
интервалы на вещественной оси.
Пусть $T$ ---- множество чисел вида $b+mq$, где $b$ и $m$
целые, причем $b$ лежит в интервале $B$; $S$ ---
множество целых чисел $a$ в интервале
$A$ таких что $ra$ лежит в $T.$
Докажите, что если произведение длин
интервалов $A$ и $B$ меньше чем $q,$ то $S$ представляет
из себя пересечение $A$ и некоторой
арифметической прогрессии.

A5
Пусть $\mathbb{F}_p$ --- поле остатков
по простому модулю $p,$ $n$ --- натуральное число.
Пусть $v$ --- фиксированный вектор в $\mathbb{F}_p^n,$
$M$ --- матрица $n\times n$ с элементами в $\mathbb{F}_p$.
определим отображение $G:\mathbb{F}_p^n\to \mathbb{F}_p^n$ формулой
$G(x)=v+Mx.$ Пусть $G^{(k)}$
обозначает $k$-ую композицию $G$ с собой, т.е.
$G^{(1)}(x)=G(x)$ и $G^{(k+1)}(x)=G(G^{(k)}(x)).$
Определите все пары $p,n$, для которых существуют $v$ и $M$
такие что все $p^n$ векторов $G^{(k)}(0),$ $k=1,2,\dots,p^n$
различны.

A6
Пусть $f(x,y)$ --- непрерывная вещественнозначная
функция на плоскости $\mathbb{R}^2.$
Предположим, что для любого прямоугольника $R$ площади $1$
интеграл $f(x,y)$ по $R$ равен нулю.
Обязательно ли функция $f(x,y)$ --- тождественный нуль?

B1
Пусть $S$ --- класс функций из $[0,\infty)$ в $[0,\infty)$,
удовлетворяющий условиям:
(i) функции $f_1(x)=e^x-1$ и $f_2(x)=\ln(x+1)$ лежат в $S;$
(ii) если функции $f(x)$ и $g(x)$ лежат в $S,$
то функции $f(x)+g(x)$ и $f(g(x))$ лежат в $S;$
(iii) если $f(x)$ и $g(x)$ лежат в $S$
и $f(x)\ge g(x)$ для всех $x\ge 0,$
то функция $f(x)-g(x)$ лежит в $S.$
Докажите, что если функции $f(x)$ и $g(x)$ лежат в $S,$
то функция $f(x)g(x)$ тоже лежит в $S.$

B2
Пусть $P$ --- данный невырожденный
многогранник. Докажите, что найдется такая
константа $c(P)>0$, что выполняется условие:
если объединение $n$ шаров с суммой объемов
$V$ содержит поверхность многогранника $P,$
то $n>c(P)/V^2.$

B3
Однокруговой волейбольный турнир $2n$ команд продолжается
$2n-1$ день. Каждый день проходит $n$ игр и
каждая команда играет ровно одну игру.
В итоге каждая сыграла с каждой ровно один
раз. Всегда ли можно выбирать каждый
день команду, победившую в этот день,
так, чтобы все $2n-1$ выбранных команд были различны?

B4
Предположим, что $a_0=1$ и $a_{n+1}=a_n+e^{-a_n}$
для $n=0,1,2,\dots.$
Имеет ли последовательность $a_n-\log n$
конечный предел при $n\to\infty?$ (Здесь $\log n$
обозначает натуральный логарифм $\log n=\log_en=\ln n.$)

B5
Докажите, что для
любых двух ограниченных функций
$g_1,g_2 : \mathbb{R}\to[1,\infty)$
существуют функции $h_1,h_2 : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$
такие что для всех $x\in\mathbb{R}$
$\[\sup_{s\in\mathbb{R}}\left(g_1(s)^xg_2(s)\right)=\max_{t\in\mathbb{R}}\left(xh_1(t)+h_2(t)\right).\]$

B6
Пусть $p$ --- нечетное простое такое что $p\equiv 2\pmod{3}.$
Определим перестановку
$\pi$ остатков по модулю $p$ формулой $\pi(x)\equiv x^3\pmod{p}.$
Докажите, что перестановка $\pi$ четная если и только
если $p\equiv 3\pmod{4}.$

Перевод на русский: rus4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение06.12.2012, 18:35 


02/11/08
1187
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml ссылка на задачи прошлых лет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Может я чего-то не понимаю, однако
А1. $d_1 = d_2 = … = d_{12} = 5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 03:41 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Утундрий в сообщении #655344 писал(а):
Может я чего-то не понимаю, однако
А1. $d_1 = d_2 = … = d_{12} = 5$


Здравствуйте, верите ли вы

(Оффтоп)

в бога
в существование правильного треугольника со стороной 5? 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 08:48 


26/08/11
2057
Утундрий в сообщении #655344 писал(а):
Может я чего-то не понимаю, однако
Тут нужно доказать, что "всегда найдется". Если отсортировать их в неубывающем порядке и методом от противного предположить, что не будет остроугольного треугольника, должно быть
$\\d_1>1\\
d_2>1\\
d_3>\sqrt 2\\
d_4>\sqrt 3\\
\cdots\\
d_{12}>\sqrt{144}$
Там числа Фибоначчи под корнем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Три раза "Гм". Вот у меня двенадцать одинаковых палочек, причём все равны как на подбор и, осмелюсь заметить, попадают в заявленный интервал. Так меня тут хотят убедить, что из них можно выбрать такие три, которые составят остроугольный треугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 20:31 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Утундрий в сообщении #655600 писал(а):
Три раза "Гм". Вот у меня двенадцать одинаковых палочек, причём все равны как на подбор и, осмелюсь заметить, попадают в заявленный интервал. Так меня тут хотят убедить, что из них можно выбрать такие три, которые составят остроугольный треугольник?


Это становится забавно. Конечно, можно 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение07.12.2012, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Да, теперь согласен. По неведомой причине "остроугольный треугольник" ассоциировался у меня с имеющим один тупой угол. И равносторонний по указанной причине к "остроугольным" не относился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение08.12.2012, 08:55 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
A2. Зафиксируем некоторый элемент $x$. Для него найдётся такой элемент $e$, что $x*e=x$.
Отсюда легко выводится, что и для произвольного элемента $y$ справедливо $y*e=y$.
Пусть элемент $c'$ определяется условием $c*c'=e$.
Теперь из $a*c=b*c$ следует $a*c*c'=b*c*c'$, $a*e=b*e$, $a=b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение09.12.2012, 09:14 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
A3. Из условия следует, что функция чётная.
Положим $g(x)=f(x)/\sqrt{1-x^2}$. Тогда функция $g(x)$ непрерывна на интервале$(-1;1)$
и имеет конечный предел при $x\to1-0$. Легко проверить, что $g(0)=1$ и $g(x)=g(\frac{x^2}{2-x^2})$. Пусть $x_0\in(0;1)$ и $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2-x_n^2}$.
Нетрудно убедиться в том, что $\lim_{n\to\infty}x_n=0$. Из непрерывности $g(x)$ в нуле получаем, что на $[0;1)$ выполняется равенство $g(x)=1$. Из чётности функции $g(x)$ и характера её поведения в окрестности точки $x=1$ получаем тождество $g(x)=1$ на всём отрезке $[-1;1]$.
Значит, $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

-- 09.12.2012, 11:22 --

B1. Из того, что $f, g\in S$, последовательно получаем принадлежность $S$ следующих функций:
$\ln(f+1),\quad \ln(g+1),\quad  \ln(f+1)(g+1),\quad fg+f+g,\quad fg$.

-- 09.12.2012, 11:34 --

B3. Рассмотрим двудольный граф, в первой доле которого $2n-1$ дней, а во второй $2n$ команд. Ребро $uv$ графа означает, что в день $u$ команда $v$ была победительницей.
Докажем, что за любые $k$ дней побеждало не менее $k$ команд. Если это не так, то за эти $k$ дней какие-то $2n-k+1$ команд только проигрывали. Но тогда все встречи между собой они должны были провести за $2n-1-k$ дней, что невозможно.
По теореме Холла, в графе существует совершенное паросочетание. Значит, ответ: да.

Если придётся переиздавать
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl ... &id=125830,
то эту задачу обязательно добавлю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2012
Сообщение13.12.2012, 17:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
A6.В приведенной формулировке задачу решить не удалось, но если потребовать дополнительно, чтобы $f(x,y)$ была равномерно непрерывной (т.е. для любого $\varepsilon >0,|f(P_1)-f(P_2)|<\varepsilon$, как только $\rho _{P_1P_2}<\delta (\varepsilon )$), то ответ положительный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group