2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятностное пространство траекторий
Сообщение13.12.2012, 14:34 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.
Правильнее было б сказать не "траекторий", а достаточно гладких фунцкий $r(t)$, потому что параметризация здесь будет играть значение.

Суть такая: есть частица, которая некоторым образом движется в плоскости. Мы не знаем её траектории, она случайная.
Возможные вопросы, которые можно будет задать, примерно так формулируются: зная положение частицы в некоторый момент времени $t_0$ или набор положений при разных $t_n$, определить распределение положений во время $t'$, то есть $P\{r(t')\in O_\epsilon(r')\}$.
Про частицу известно, что она "помнит" своё поведение "грубо", то есть периодически она почти повторяет свою траекторию с точностью до трансляции на некоторый вектор.[1]

Проблема: я не знаю, как сформировать модель по такому нечёткому описанию. Хотелось бы, чтоб модель была по-проще.

Если бы я знал, что функция $T$-периодична и можно разложить в ограниченный спектр $\bar r(\frac {2\pi n} T),\;n<N$, то можно взять в качестве модели пространство $\mathbb{R}^n$. Более того, если $|\bar r(\frac {2\pi n} T)|<m_n$, где $m_n$ — некоторые числа, то можно можно адекватно ввести случайную величину с равномерным распределением.[2]

Основной вопрос: как можно обобщить понятие "равномерного распределения" до $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, когда у нас спектр не ограничен $\frac {2\pi}T N $?[3]

Какая есть литература по этим вопросам? Наверняка, что-то такое должно быть, но как может называться раздел теорвера, ставящий такие задачи, я не знаю.

(Оффтоп)

[1] Более формально: пусть $r_{\rho,T}(t)=r(t+T)-\rho,\;t\in(0,\tau)$, тогда существует $T$, $\tau$ и $\rho$, что вероятноть отклонения $r_{\rho,T}$ от $r$ на величину $(d,d+\Delta d)$ в некоторой метрике ($L_2$, например) пространства функций при $t\in (0,\tau)$ монотонно убывает по $d$ при любом $\Delta d$.

[2] Вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},P)$ задаётся так: $\Omega=[-m_1,m_1] \times [-m_2,m_2] \times\ldots\times [-m_n,m_n]$, $\mathcal{F}$ — понятно что, $P(\Delta_1\times\Delta_2\times\ldots\times\Delta_n)=\frac{|\Delta_1|}{2m_1}\frac{|\Delta_2|}{2m_2}\times\ldots\times\frac{|\Delta_n|}{2m_n}$, $P$ доопределяется по $\sigma$-аддитивности.

[3] Я придумал следующее: пусть заданы числа $m_n>0$ и пусть $$\Omega=\prod\limits_{n\in N} [-m_n,m_n]$$Далее пусть $\mathcal{F}$ есть $\sigma$-алгебра. Наконец, по аналогии, я хотел бы положить $$P(\prod\limits_n\Delta_n)=\prod_n\frac{|\Delta_n|}{2m_n}$$но бесконечно умножать числовую последовательность мы не умеем, поэтому можно написать так: $$P(\prod\limits_n\Delta_n)=\exp\left(\sum\limits_n\ln\frac{|\Delta_n|}{2m_n}\right)$$доопределяем по аддитивности.
Но, ИМХО, это ущербная модель.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group