Сумма ряда

[Лукомор]

Подскажите пожалуйста, как найти сумму ряда:
$1 \cdot \frac 1 2 + 2 \cdot \frac 1 4 + 3 \cdot \frac 1 8 + \cdots + n \cdot \frac 1 {2^n} + \cdots$

[ИСН]

Поделить пополам и вычесть из себя.

[Лукомор]

ИСН, спасибо!

[gris]

А мне увиделся степенной ряд, который можно проинтегрировать.
Хотя пример хрестоматийный.

[mihailm]

Найти в wolframalphе частичную сумму, доказать ее по индукции, и устремить n куда надо

[Arcanine]

${S}_{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {n}{{2}^{n}}=\frac {1}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {n+1}{{2}^{n+1}}=\frac {1}{2}+\frac {1}{2}{S}_{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{{2}^{n+1}}$

[ИСН]

Найти в wolframalphе полную сумму сразу, чего уж тут мелочиться...
короче, вариантов масса.

[mihailm]

ИСН в сообщении #654257 писал(а):

Найти в wolframalphе полную сумму сразу, чего уж тут мелочиться...
короче, вариантов масса.

А доказывать как?

[ИСН]

Как хотите. Конкретно этот ряд - плохой пример (слишком лёгкий), но есть другие, которые реально легче разбирать, когда заранее знаешь, к чему они сходятся на самом деле.