2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная функции
Сообщение25.11.2012, 00:57 


25/08/05
645
Україна
Пусть задана функция
$$
F(x)=\max(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)),
$$
и все функции $f_i(x)$ диференцируемые на $[a,b].$ Можно ли утверждать что функция $F(x)$ также имеет производную на $[a,b]$ и что ета производная равна
$$
F'(x)=\max(f'_1(x),f'_2(x),\ldots,f'_n(x))?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 01:00 


15/01/09
549
$|x| = \max \{x,-x\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 01:19 


25/08/05
645
Україна
:-)
спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 01:30 


15/01/09
549
Но если что, есть теорема для производной по направлению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 02:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Nimza в сообщении #649185 писал(а):
Но если что, есть теорема для производной по направлению


по направлению вправо, или влево?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 11:48 


15/01/09
549
alcoholist в сообщении #649196 писал(а):
по направлению вправо, или влево?

:D чем богаты, тем и рады.

А вообще, конечно, теорема справедлива и в многомерном случае. И даже когда максимум берётся не только по конечному набору функций, но по и любому набору, проиндексированному компактом метрического пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 13:36 


25/08/05
645
Україна
Nimza в сообщении #649185 писал(а):
Но если что, есть теорема для производной по направлению.


и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 13:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Leox в сообщении #649312 писал(а):
и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 13:51 


15/01/09
549
ewert в сообщении #649317 писал(а):
Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...

В случае производных по направлению максимум надо брать только по тем индексам, на которых достигается максимум самой функции. Точнее, теорема такая:

Если $\Omega$ область в евклидовом пространстве, $M$ метрический компакт, $f(x,y)$ функция на $\Omega \times M$, непрерывная вместе с производными по иксам, то в любой точке $x$ производная по любому направлению $v$ существует и:
$$
    \frac{\partial \max_{y} f(x,y)}{\partial v} = \max\limits_{y \in \mathrm{Argmax}_{y}f(x,y)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial v}}
$$
Если множество индексов дискретно и конечно, то оно очевидно компактно в дискретной топологии, то есть теорема работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 16:00 


25/08/05
645
Україна
ewert в сообщении #649317 писал(а):
Leox в сообщении #649312 писал(а):
и что, как ее применить к функции заданной таким образом?

Никак, и дело даже не в возможном нарушении гладкости. С какой вообще стати упорядоченность функций хоть как-то связана с упорядоченностью их производных?...


дело в не упорядочении. Мне кажется что формула
$$
F'(x)=\max(f_1'(x),f_2'(x),\ldots, f_n'(x))
$$
неверна в принципе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 16:02 


15/01/09
549
Она неверна. Я уже показывал пример. Зато для производных по направлению можно пользоваться указанной выше (здесь это правая и левая производные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 16:21 


25/08/05
645
Україна
Я понял, что неверна так как функции $f_i$ склеиваются негладко и такая функция получается недифференцируема. А если, предположим, склеили гладко, что тогда, формула правильная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 17:26 


15/01/09
549
$x = \max \{ x, 2x - 100\}$ при $x \in (0,1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная функции
Сообщение25.11.2012, 20:09 


25/08/05
645
Україна
Елегантно :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group