2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение24.11.2012, 19:11 


02/10/12
300
Домосед остался на Земле. Близнец-космонавт улетел в равноускоренной ракете.
$t$ - время на часах, которые находятся рядом с домоседом.
$\tau$ - время в СО космонавта.
Нужно найти зависимость $t=f(\tau)$.
Под $\tau$ понимаю время в Мговенно Сопутствующей ИСО (МСИСО) космонавта.

Попытка решения.

Обозначения:
Все величины в метрах и световых метрах.
$x'$, $dx'$ -координата и ее приращение в СО и МСИСО ракеты.
$\beta$ -скорость.
$\Theta$ -параметр скорости $\beta=\th(\Theta)$.
$a$ -собственное ускорение.

$\Theta=a\tau, \eqno{(1)}$ -формула параметра скорости, есть в Тейлор-Уилер
$dx'=\th(\Theta)d\tau, \eqno{(2)}$ -формула приращения, есть похожая в Тейлор-Уилер
$t=-x'\sh(\Theta) + t'\ch(\Theta), \eqno{(3)}$ -формула Лоренца (неподвижной считается штрихованная ИСО)

Запишем формулу Лоренца для малых приращений:
$dt= -dx'\sh(\Theta) + \ch(\Theta)d\tau, \eqno{(4)}$
Подставим (2) в (4):
$dt= -\th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau + \ch(\Theta)d\tau, \eqno{(5)}$

Далее предполагал проинтегрировать и получить формулу $t=f(\tau)$.
Интеграл
$\int \th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau$
взять если и возможно, то нелегко для меня.
И главный вопрос - верно ли выражение (5)?

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 03:24 


02/10/12
300
Нашел подходящие формулы, проинтегрировал.
Знак минус у первого слагаемого в (5) сменил на плюс, т. к. домосед удаляется
в отрецательную сторону. Знак ускорения оставил положительный.
$\int \th(\Theta)\sh(\Theta)d\tau=\int\frac{\sh^2(a\tau)}{\ch(a\tau)}d\tau=, \eqno{(6)}$
$=\frac 1a \sh(a\tau)+\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(7)}$
$t=\frac 2a \sh(a\tau)+\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(8)}$

Получилось плохо. При малом $(a\tau)$ (скорости) должно быть $t=\tau$.
Формула $\frac{a}{c}t=\sh \frac{a}{c}\tau$, которую привела Алия87, для ИСО домоседа,
в ней это условие выполняется.
В моей формуле получилось $t=2\tau$, это если еще скомпенсировать
$\frac 2a \arctg(e^{a\tau}) = \frac 2a \arctg(e^{0})$
подходящей константой $C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 04:46 


02/10/12
300
Вот формула интегрирования:
$\int\frac{\sh^m cx}{\ch^n cx}dx=\frac{\sh^{m-1}cx}{c(m-n)\ch^{n-1}cx}+\frac{m-1}{m-n}\int\frac{\sh^{m-2}cx}{\ch^ncx}dx$, ($m$ не равно $n$)
Я принял $\sh^{m-2}cx=\sh^{0}cx=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 09:11 


02/10/12
300
Пусть за время $d\tau$ по часам СО ракеты домосед сместился в СО ракеты на $dx'$,
и при этом часы домоседа увеличили показание на $dt$.
Из старого решения возьмем:
$\Theta=a\tau, \eqno{(1)}$ -формула параметра скорости, есть в Тейлор-Уилер
$dx'=\th(\Theta)d\tau, \eqno{(2)}$ -формула приращения, есть похожая в Тейлор-Уилер
Напишем интервал:
$(dt)^2=(d\tau)^2-(dx')^2=, \eqno{(9)}$
$=(d\tau)^2-(\th(\Theta)d\tau)^2=, \eqno{(10)}$
$=(d\tau)^2(1-\th^2(\Theta)), \eqno{(11)}$
Отдельно посчитаю правую скубку
$(1-\th^2(\Theta))=1-\frac{\sh^2(\Theta)}{\ch^2(\Theta)}=, \eqno{(12)}$
$=\frac{\ch^2(\Theta) - \sh^2(\Theta)}{\ch^2(\Theta)}=\frac{1}{\ch^2(\Theta)}, \eqno{(13)}$
Подставляю в выражение для $(dt)^2$
$(dt)^2=(d\tau)^2\frac{1}{\ch^2(\Theta)}, \eqno{(14)}$
$dt=\sqrt{(d\tau)^2\frac{1}{\ch^2(\Theta)}}, \eqno{(15)}$
$dt=\frac{1}{\ch(\Theta)}d\tau, \eqno{(16)}$
$t=\int\frac{1}{\ch(\Theta)}d\tau=\frac 2a \arctg(e^{a\tau}), \eqno{(17)}$

-- 25.11.2012, 10:41 --

Вот предполагаемый график времени к задаче близнецов.
Движение ракеты ускоренное, инерционного участка нет.
В точке $A$ меняет направление движения на обратное.
Время в СО ракеты $\tau$ на графике обозначено $t'$.
Зеленая кривая - показания часов ракеты в ИСО домоседа.
Оранжевый тонкий график - предполагаемая зависимость показаний
часов домоседа в СО ракеты, которая СО есть последовательность
мнгновенно сопутствующих ИСО (МСИСО) ракеты.
Изображение

Обратите внимание, на ускоренном участке от $0$ до $t_1'$ показания
часов домоседа в СО ракеты нарастают медленно (оранжевый), а на
участке торможения от $t_1'$ до $t_2'$ быстро. Я ожидал, что в
формуле будет нечто, которое при смене знака ускорения даст
сильный прирост времени домоседа.
Насчет $t=\tau$ при малой скорости пока не разобрался, но сомнительно.
Может кто-нибудь укажет ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вы не ту величину интегрируете.

Вот то, что соответствует вашему расчёту, формулам (2) и (4), они эквивалентны позже полученной (16):

Изображение

А вот что на самом деле надо рассчитывать:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 10:41 


02/10/12
300
Спасибо, Munin.

Я понял так, что не выявлена смена МСИСО.

 Профиль  
                  
 
 Re: СТО. Задача про ускоренную ракету.
Сообщение25.11.2012, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да. И заодно здесь появится зависимость от расстояния.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group