2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение23.11.2012, 20:12 


05/09/11
364
Петербург
Найти количество квадратичных вычетов и невычетов по модулю $p$, где $p$ - простое число. Для доказательства особых технических изысков не потребовалось, но результат сам по себе интересный.
Есть ещё более общая задача, за неё я пока не брался. Знаю, где посмотреть её решение, но надеюсь потом сам решить, когда вернусь к теории чисел.
Найти число квадратичных вычетов и невычетов по модулю $p_1 \cdot  ...  \cdot p_n$, где $p_1$, ... $p_n$ - различные простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение23.11.2012, 20:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Вообще, если что, это стандартная теорема из ТЧ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение23.11.2012, 20:46 


05/09/11
364
Петербург
Я это утверждение встречал только в качестве задачи. И вообще, эдак любое содержательное утверждение можно называть "стандартной теоремой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение24.11.2012, 07:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Doil-byle, $x^2\equiv y^2\pmod{p}\Leftrightarrow x\equiv y\pmod{p} \vee x\equiv -y\pmod{p}$. Отсюда всё и следует.

Upd. Ничего олимпиадного.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.11.2012, 11:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение24.11.2012, 11:11 


05/09/11
364
Петербург
bot в сообщении #648827 писал(а):
Отсюда всё и следует.

Это тоже не само собой, а следует из леммы Евклида.
bot в сообщении #648827 писал(а):
Upd. Ничего олимпиадного.

Есть ещё вторая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичные вычеты и простые числа.
Сообщение24.11.2012, 14:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Doil-byle в сообщении #648843 писал(а):
Есть ещё вторая задача.
Число квадратичных вычетов равно $\frac{p_1-1}{2}...\frac{p_s-1}{2}$, что следует из $\mathbb{Z}_{p_1...p_k}^{\times}\cong\mathbb{Z}_{p_1}^{\times}\times...\times\mathbb{Z}_{p_k}^{\times}$ (или из китайской теоремы об остатках)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group