2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение шестой степени. Найти восемь целых чисел.
Сообщение07.10.2012, 10:01 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Обозначим корни уравнения:

$x^6+x^5+\frac{5}{2}x^4+2x^3+\frac{13}{4}x^2+\frac{9}{4}x+\frac{17}{8}=0$

$f_{1}=.549136..+1.052653..\cdot i$
$f_{2}=-.3065276..+1.15610..\cdot i$
$f_{3}=-.7426088..-.708753..\cdot i$
$f_{4}=-.7426088..+.708753..\cdot i$
$f_{5}=-.3065276..-1.15610..\cdot i$
$f_{6}=.549136..-1.052653..\cdot i$

Найдем значения сумм и произведений сопряженных пар корней:

$a_{1}=f_{1}+f_{6}=1.0982729..$
$a_{2}=f_{2}+f_{5}=-0.613055..$
$a_{3}=f_{3}+f_{4}=-1.4852176..$
$b_{1}=f_{1}\cdot f_{6}=1.409629..$
$b_{2}=f_{2}\cdot f_{5}=1.430527..$
$b_{3}=f_{3}\cdot f_{4}=1.053799..$

Составим два кубических уравнения:
для сумм:

$x^3+x^2+v\cdot x-1=0$

где $v=-1.39395578..$

и для произведений:

$x^3-\left(\frac{5}{2}-v \right)x^2+\left(\frac{1}{2}v^2-2v+\frac{5}{4} \right)x-\frac{17}{8}=0$

Оказывается, что параметр $v$, есть корень биквадратного уравнения вида:

$x^4-2\left(u^2+au+b \right)x^2+\frac{1}{2}\left(cu^2+du+f \right)=0$

Где $a, b, c, d, f$ целые числа. А параметр $u$ есть вещественный корень кубического уравнения тоже с целыми коэффициентами $p, q, r$:

$x^3+px^2+qx+r=0$

Найдите эти целые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение шестой степени. Найти восемь целых чисел.
Сообщение16.11.2012, 07:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Обозначим
$$f(x) = x^6+x^5+\frac{5}{2}x^4+2x^3+\frac{13}{4}x^2+\frac{9}{4}x+\frac{17}{8}.$$
Пусть его корни имеют вид $a\pm ib$. Вычислив результант $f(a+ib)$ и $f(a-ib)$ относительно $b$ и факторизовав его, получим, что $2a$ является корнем уравнения:
$$x^9 + 3x^8 + 8x^7 + 8x^6 + 3x^5 - 9x^4 - 25x^3 - x^2 + 5x - 1.$$
Если оно же является корнем уравнения:
$$x^3+x^2+v\cdot x-1=0,$$
то их результант относительно $x$ обязан быть нулем, то есть:
$$(18+4v - 5v^2+v^3)^3 = 0.$$
Поэтому $v$ является корнем кубического уравнения:
$$18+4x - 5x^2+x^3 = 0$$
и смысла в рассмотрении $u$ я не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение шестой степени. Найти восемь целых чисел.
Сообщение17.11.2012, 19:09 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal

Спасибо за ответ! Вы опять сразили меня.

(Чуть-чуть в свое оправдание.)

Не подумайте, что я как бы специально усложнил
условия задачи. Вовсе нет. Дело в том что найденное
мной решение произошло без участия результанта.
Нет, я ничего не имею против, только за!
Просто второй корень биквадратного уравнения,
тоже отрицательный, приводит ко второму уравнению
шестой степени. Которое имеет почти такой же
дискриминант. Если у заданного дискриминант ${\left(351i\right)}^{2}$,
то у его родного брата ${\left(104i\right)}^{2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group