2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства функции
Сообщение11.11.2012, 11:34 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Пусть задана упорядоченная последовательность положительных чисел
$\lambda _1  > \lambda _2  > ... > \lambda _m  > \lambda _{m + 1}  > ... > 0,$
при чем
$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \lambda _m  = 0,$
и положительный сходящийся ряд
$\sum\limits_{m = 1}^\infty  {A_m^2 }  < \infty ,$
при чем все его члены ненулевые, т.е.
$A_m^2  > 0.$

Рассмотрим уравнение:
$$\mu \sum\limits_{m = 1}^\infty  {\frac{1}{{\lambda _m  - \lambda }}A_m^2  + 1 = 0}.$$
Перепишем его в следующем виде
$$\sum\limits_{m \ne k,k + 1}^\infty  {\frac{1}{{\lambda _m  - \lambda }}A_m^2  + \frac{1}{\mu } = \frac{{A_k^2 }}{{\lambda  - \lambda _k }} + } \frac{{A_{k + 1}^2 }}{{\lambda  - \lambda _{k + 1} }}.$$
При каждом фиксированном $\mu$, функция (по $\lambda$) в левой части равенства, монотонно возрастает в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$, а функция стоящая в правой части равенства монотонно убывает в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$ от $+\infty$ до $-\infty$. Поэтому существует единственное решение уравнения в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$. Обозначим его через $\lambda _k \left( \mu  \right)$.

Есть гипотеза, что при фиксированном $\mu$
$$\frac{1}{{\lambda _k \left( \mu  \right)}} - \frac{1}{{\lambda _k }}\mathop  \to \limits_{k \to \infty } 0.$$
Но доказать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение12.11.2012, 18:26 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Хорошо. Возможно, эта гипотеза тривиальным образом не разрешается.
Но можно ли выбрать ряд $A_n$ таким чтобы выполнялась моя гипотеза?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение14.11.2012, 10:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Гипотеза не выполняется для $A_m^2=\frac 1{m^2},\lambda _m=\frac 1{m^2}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение14.11.2012, 17:17 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Не очевидно. Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение14.11.2012, 20:08 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Перепишем уравнение в виде$$g(\lambda )=f(\lambda )\qquad (1)$$где $$g(\lambda )=\sum _{m=1}^{k-1}\dfrac {A_m^2}{\lambda _m-\lambda }+\frac 1{\mu },\qquad (2)$$$$f(\lambda )=\dfrac {A_k^2}{\lambda -\lambda _k}+\sum _{m=k+1}^{\infty }\dfrac {A_m^2}{\lambda -\lambda _m}\qquad (3)$$Функция $g(\lambda )$ монотонно возрастает, а функция $f(\lambda )$ монотонно убывает (от $+\infty $ до $-\infty $)в промежутке $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$
Если мы в уравнении (1) заменим функцию $g(\lambda )$ на функцию $g_1(\lambda )$, а функцию $f(\lambda )$ на функцию $f_1(\lambda )$, такие, что $g_1(\lambda )<g(\lambda )$ и $g_1$ не убывает на $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$, а $f_1(\lambda )>f(\lambda )$ и $f_1$ монотонно убывает от $+\infty $ до $-\infty $ на том же промежутке, то полученное уравнение $$g_1(\lambda )=f_1(\lambda )\qquad (4)$$будет иметь в промежутке $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$ единственный корень $\bar \lambda _k$, причем будет выполнено неравенство $$\bar \lambda _k>\lambda _k(\mu )\qquad (5)$$, геометрически очевидное.
Выберем $g_1(\lambda )\equiv 0$, а $f_1(\lambda )=\dfrac {A_k^2}{\lambda -\lambda _k}+\dfrac {D_k}{\lambda _-\lambda _{k+1}}$, где $D_k=\sum _{m=k+1}^{\infty }\frac1{A_m^2}.$Функция $f_1$ получена заменой всех знаменателей в сумме формулы (3) на $\lambda -\lambda _{k+1}.$Очевидно $g_1$ и $f_1$ удовлетворяют поставленным условиям.Для нахождения $\bar \lambda _k$ получили уравнение $$\dfrac {A_k^2}{\lambda _k-\lambda }=\dfrac {D_k}{\lambda -\lambda _{k+1}}\qquad (6)$$Из уравнения (6)$$\bar \lambda _k=\dfrac {D_k\lambda _k+A_k^2\lambda _{k+1}}{A_k^2+D_k}\qquad (7)$$Выберем теперь $A_m^2=\frac 1{m^2},\lambda _m=\frac 1{m^2}$, тогда $D_k=\sum _{m=k+1}^{\infty }\frac 1{m^2}=\frac 1k+o(\frac 1k),\bar \lambda _k=\frac 1{k^2}\dfrac {D_k+\frac 1{(k+1)^2}}{D_k+\frac 1{k^2}},\lim _{k\to \infty }\dfrac 1{\bar \lambda _k}-\dfrac 1{\lambda _k}=2$, из (5) тогда следует, что и $\lim \limits_{k\to \infty }\frac 1{\lambda _k(\mu )}-\frac 1{\lambda _k}>0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение16.11.2012, 23:18 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Очень интересно. Спасибо за подробное изложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства функции
Сообщение27.11.2012, 14:37 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Доказательство понятно. Но вопрос такой. Как вот можно было прийти к такой оценке?
Вот допустим я хочу исследовать вопрос - стремится ли к нулю выражение $\frac{1}{\lambda_{k}(\mu)} - \frac{1}{\lambda_{k+1}}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group