2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кольцо в магнитном поле
Сообщение19.04.2012, 18:47 


13/04/12
15
Это задача в олимпиаде ТПУ. Я пробовал и получил диф.уравнение 2-ого порядка.Но думаю что, есть другое решение. А как вы думаете?
Вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр, быстро вращается тонкое металлическое кольцо в однородном магнитном поле с индукцией В. Ось вращения перпендикулярна индукции. Пренебрегая трением в оси, найти время, за которое угловая скорость вращения уменьшается в е раз. Известна плотность материала а кольца и удельное сопротивление b. Потенри энергии за один оборот считать малыми. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение20.04.2012, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
motovanya в сообщении #561877 писал(а):
Это задача в олимпиаде ТПУ. Я пробовал и получил диф.уравнение 2-ого порядка.Но думаю что, есть другое решение. А как вы думаете?
Мне кажется (школу закончил давно, за свои слова не ручаюсь :-) ), что кинетическая энергия расходуется на нагрев. Т.е. записываем уравнение первого порядка и получаем, что искомое время $T$ пропорционально $ab$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение01.05.2012, 11:05 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ЭДС, индуцирующееся в кольце $$U=BS\omega \cos(\omega t)$$
Отсюда средняя за период выделяющаяся тепловая мощность $$P=\frac{\overline {U^2}}{R}=\frac{(BS)^2}{R}\cdot \frac{\omega^2}{2}= - \frac{d}{dt}(J\cdot \frac{\omega^2}{2})$$
И наконец $$\omega=\omega_0\cdot \exp(- \frac t{\tau}),$$
где $\tau = \frac{JR}{2(BS)^2}$
Осталось выразить переменные через данные в условии задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение02.05.2012, 16:43 


13/04/12
15
Я так не думаю, $$U=Bs\omega\cos(\omega\ t )$$ угол $$\alpha\ = (\omega\ t)$$ не прав, так как $\omega\ - функция времени, уравнение не так легко. А сложнее. вот почему Я говорил уравнение сложное, переменное это угол $\alpha\, не $\omega\

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение05.11.2012, 13:25 


01/07/08
836
Киев
motovanya в сообщении #566565 писал(а):
А сложнее. вот почему Я говорил уравнение сложное, переменное это угол $\alpha$ , а не $\omega$

Сложность полученного уравнения зависит от "способа составления". В начальных курсах дифуров, при построении математической модели, предполагаются достаточно малые $\alpha$. Поэтому уравнение,
которое вы предлагаете, решать сложнее.
TOTAL в сообщении #562040 писал(а):
Мне кажется (школу закончил давно, за свои слова не ручаюсь :-) ), что кинетическая энергия расходуется на нагрев. Т.е. записываем уравнение первого порядка и получаем, что искомое время $T$ пропорционально $ab$

Потенциальная энергия, как не зависящую от угла поворота, здесь можно не учитывать. Но ведь можно учитывать квантовую механику и получить уравнения посложнее. Почему ТС остановился, при достаточном упорстве( в смысле энергии :-) ) можно и до хигсов добраться :?: С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение05.11.2012, 17:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вот честное дифференциальное уравнение. Если $\alpha=\alpha(t)$, то $U(t)=BS\,\alpha'(t)\,\cos\alpha(t)$. Мгновенная тепловая мощность $\dfrac{U^2(t)}{R}$ идёт на уменьшение кинетической энергии вращения:

$(\alpha'(t))^2\cdot\dfrac{B^2S^2}{R}\,\cos^2\alpha(t)=-\left(\dfrac{J(\alpha'(t))^2}{2}\right)',$

откуда $-\dfrac{d(\alpha'(\tau))^2}{(\alpha'(\tau))^2}=\dfrac{2B^2S^2}{JR}\,\cos^2\alpha(\tau)\,d\tau$ и, следовательно,

$-2\ln\dfrac{\alpha'(t)}{\alpha'(0)}=\int\limits_0^t\dfrac{2B^2S^2}{JR}\,\cos^2\alpha(\tau)\,d\tau.$

До сих пор всё было абсолютно точно; а теперь внимательно читаем условие задачи. Там в конце стоит фраза: "потери энергии за один оборот считать малыми"; наверное, это неспроста, хоть что-то это да значит?... А значит это в точности то, что на протяжении одного оборота $\alpha'(\tau)$ считается практически постоянной; ну и заодно косвенно то, что оборотов будет очень много. В совокупности из этого следует, что при интегрировании косинуса его можно заменить на среднее значение по периоду, т.е. на $\frac12$:

$-2\ln\dfrac{\alpha'(t)}{\alpha'(0)}=-2\ln(e^{-1})=\dfrac{B^2S^2}{JR}\,t,$

т.е. $t=\dfrac{2JR}{B^2S^2}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение10.11.2012, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #640354 писал(а):
Вот честное дифференциальное уравнение. Если $\alpha=\alpha(t)$, то $U(t)=BS\,\alpha'(t)\,\cos\alpha(t)$. Мгновенная тепловая мощность $\dfrac{U^2(t)}{R}$


А вот и дырка, скорее всего, не предусмотренная авторами: ток в кольце непропорционален эдс, и условия задачи недостаточны для решения даже при соблюдении малости относительного изменения скорости за оборот.

Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение10.11.2012, 20:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #642400 писал(а):
Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

Ну она ж тривиально нулевая -- кто-нибудь когда-нибудь реально измерял индуктивность одного витка (нет, именно реально, в сравнении со всем остальным)?...

Невозможно ж в условии перечислить буквально все умолчания. Скажем, скорость солнечного ветра, дующего в паруса Галактики (понятия не имею, что это такое, но что-то наверняка означает) -- совершенно точно не учтена. А вот все существенные факторы -- оговорены вполне аккуратно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение10.11.2012, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #642695 писал(а):
nikvic в сообщении #642400 писал(а):
Ток как функция скорости ограничен из-за индуктивности.

Ну она ж тривиально нулевая -- кто-нибудь когда-нибудь реально измерял индуктивность одного витка (нет, именно реально, в сравнении со всем остальным)?...
Измерять ничего не нужно - все формулы доступны. Заметный эффект от сдвига фаз для кольца диаметром 5см из миллиметровой медной проволоки не потребует мегагерц. Индуктивность мала, но мало и сопротивление - а важно лишь их отношение.

Что хуже для принятой учебной "упрощёнки", именно индуктивность у короткозамкнутого ротора - причина провала момента на малых оборотах у промышленных двигателей. Т.е. явное противоречие практики и простой модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение10.11.2012, 21:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #642717 писал(а):
из миллиметровой медной проволоки не потребует мегагерц. Индуктивность мала, но мало и сопротивление - а важно лишь их отношение.

Так у меди вообще нет сопротивления (в учебных задачах), а тут по условию оно есть.

nikvic в сообщении #642717 писал(а):
причина провала момента на малых оборотах у промышленных двигателей. Т.е. явное противоречие практики и простой модели.

Тут я не компетентен и Вы, скорее, всего, правы (формально). Но ведь (уже по существу) задачка-то сугубо формальная, и все умолчания подразумеваются. В т.ч. и пренебрежимость индуктивности по сравнению с сопротивлением (в соотв. пересчёте, разумеется). Просто потому, что про сопротивление говорится прямым текстом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо в магнитном поле
Сообщение11.11.2012, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
При проверке я бы не стал ругать за недостаточность решения. Однако при наличии даже намёка на связь индуктивности и тока поставил бы вопрос о начислении дополнительных баллов :o

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group