Однородное дифф. уравнение

[Limit79]

$2\cdot( x^2y+\sqrt{1+x^4y^2}) dx +x^3 dy = 0 $

Оно же однородное? $2+1 = 2+1 = 3$, т.е. $3=3=3$. Или нет?

Если все делить на $x^2y$, то получается:

$2\cdot(1+\sqrt{\frac{1}{x^4y^2}+1})+y'\cdot \frac{x}{y}=0$

А как дальше можно поступить?

[ИСН]

Надо было на него не делить, а его за новую неизвестную взять, вот что.

[Limit79]

ИСН
$a=x^2y$
Тогда:

$2\cdot( a+\sqrt{1+a^2}) dx +(\frac{a}{y})^{\frac{3}{2}} dy = 0 $

А дальше как?

Хотя и производная будет же другая.

[ИСН]

Есть люди, которых расстёгнутая верхняя пуговица ввергла в пучины бедствий. А в Вашем случае роковым может оказаться выбор буквы.

[Limit79]

ИСН
А какая разница в букве? Я думал взять $t$, но $t$ мы же будем в дальнейшем использовать, поэтому - $a$.

[Shtorm]

Limit79, так у Вас теперь три буквы в уравнении! А надо....

[ИСН]

a - это константа. t - это аргумент. Функции - это y, z, u, v, w, f, например.

-- Пт, 2012-11-02, 20:37 --

то есть без разницы, конечно, просто люди привыкли так.

[Limit79]

Скажите, пожалуйста, что тогда можно почитать, так как во многих учебниках только типовые методы решения, которыми не получается решить...

-- 02.11.2012, 21:10 --

ИСН
Если сделать замену, как сказали Вы, то как найти $y'$ ?

[Someone]

Обобщённо однородное.

[Limit79]

$t=x^2y$

$x^3 = (\frac{t}{y})^{\frac{3}{2}}$

$y=\frac{t}{x^2}$

$y' = \frac{t'x^2-2xt}{x^4} = \frac{t'x-2t}{x^3}$

2 \cdot (t+\sqrt{1+t^2}) dx +(\frac{t}{y})^{\frac{3}{2}} \frac{t'x-2t}{x^3} = 0 $

...

[ИСН]

[Limit79]

Someone
То есть надо сделать $y=z^m$, и найти $m$?

[ИСН]

От какой из трёх букв (x, y, t) Вы пытались избавиться, и почему остановились посередине?

[Limit79]

ИСН в сообщении #639302 писал(а):

:facepalm:

Именно такое ощущение было у меня, во время написания поста, только не могу понять, где я не прав...

-- 02.11.2012, 21:22 --

ИСН
От $y$, наверное...

[ИСН]

Ну?