2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение14.10.2012, 09:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vitalius в сообщении #630556 писал(а):
Можете припомнить мне как это доказывается?
Есть такая вещь --- степень точки относительно окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение14.10.2012, 09:45 


02/08/12
142
Могли бы и какую-нибудь ссылку дать. Например так:

Есть такая вещь --- степень точки относительно окружности.

Так или иначе доказательство пока не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение14.10.2012, 13:55 


15/05/12

359
Здравствуйте! Даю ссылку на полезную брошюру:

Vitalius в сообщении #630642 писал(а):
Так или иначе доказательство пока не видел.

http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=& ... yw&cad=rjt

С уважением, Николай

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение30.10.2012, 23:31 


02/08/12
142
Уважаемый Nikolai Moskvitin, извините, но несколько недели у меня не было время заниматься с Вашей задачи. Последний раз рассматривал вопрос об общем скрипте на Mathematica, который должен дать все интересующие нас координаты точек и расстояния между ними как функции от координат вершин тетраэдра. Но у меня скрипт ориентирован на системе (2a). А она, как уже говорил, даёт центры и радиусы всех вписанных сфер - та которая собственно внутри тетраэдра и те которые являются вне вписанными. Мне по возможности, всё-таки хочется что-то более элегантное - в смысле нахождения только центр и радиус собственно вписанной сфере. Ибо вне вписанные сферы в данном случае нас не интересуют. В связи с этим и рассматривал доказательство планиметрической теоремы Эйлера, вопрос о расширений которой в 3-мерном случае Вы поставили. С леммой, которая лежит в основанием этого доказательство разобрался - спасибо за ответы и подсказки которые дали! Однако пока не думал можно ли применить чего-нибудь от доказательство 2-мерного случая в общем случае где размерность пространства $n=3,4,5,...$. Надо посмотреть. Для правильного симплекса есть кое-что простое, которое можем напрямую применить. И это одна теорема, которая связывает объём $V_{n}$ правильного $n$-мерного многогранника с объёмом $V_{n-1}$ его (n-1)-мерной гранью. Согласно этой теореме:

$V_{n}=\frac{1}{n}V_{n-1}A_{n-1}r_{n}$,

где $A_{n-1}$ количество (n-1)-мерных граней, а $r_{n}$ - радиус вписанной сфере. Для любого тетраэдра (в частности и правильного) $n=3$, а $A_{n-1}=n+1=4$. Следовательно для радиус $r$ той сферы, что вписана в правильном тетраэдре, можем записать:

$V_{3}=\frac{4}{3}V_{2}r$,

где $V_{3}$ объём правильного тетраэдра, а $V_{2}$ "объём" (т.е. площадь) правильного треугольника, который является гранью данного правильного тетраэдра. К сожалению если тетраэдр произволен, то всё не так просто. Однако в этом случае радиус впис. сф. спущен к произвольной грани тетраэдра от его $i$-ой вершине (находящиеся вне данной грани), параллелен соответствующей высоты $h_{i}$. А через данную высоту и площадью грани к которой она спущена, можем выразить объём тетраэдра. Это наверное можем как-то использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение25.11.2012, 11:57 


15/05/12

359
Vitalius, здравствуйте!

Сегодня возникла интересная идея, только не знаю, всё ли в порядке с математикой. Можно найти несколько различных числовых значения радиусов и расстояний как угодно- через рёбра, площади, и т.п. Затем рассмотреть трёхмерную систему координат и задать на её осях полученные числовые значения. Затем посмотреть, будет ли полученное множество точек непрерывной функцией (я основывался на том, что в принципе, например, $R^4$ в формуле не должно фигурировать по соображениям размерности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение14.12.2012, 01:23 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Итак, утверждение, высказанное ТС в первом посте - неверно. Это было мне очевидно с самого начала. Но простой контрпример удалось придумать только сейчас. Начнем.

В качестве описанной сферы возьмем для простоты единичную сферу с центром в начале координат. А все рассмотренные ниже тетраэдры будем в нее вписывать. Тогда радиус описанной сферы, очевидно, для них будет один и тот же, и равен $1$. Теперь мы берем такой тетраэдр - координаты его вершин таковы: $(0, 0, 1), (\cos a, 0, \sin a), (-1/2 \cos a, \sqrt{3}/2 \cos a, \sin a), (-1/2 \cos a, -\sqrt{3}/2 \cos a, \sin a)$. Это тетраэдр, у которого основанием служит правильный треугольник, а высота, опущенная на это основание, попадает точно в его центр. Заметим, что (если только тетраэдр не является правильным) в общем случае центр вписанной в такой тетраэдр сферы не совпадает с центром описанной. Заметим также, что если значение параметра $a$ будет очень близко к $\pi/2$, то радиус вписанной сферы будет очень маленьким. При желании можно выписать формулу, показывающую зависимость этого радиуса $r(a)$. Я ее даже вывел, но она очень длинная. Предлагаю поверить на слово, что зависимость существует. Следовательно, если мы захотим, чтобы радиус вписанной сферы был равен, скажем, $0.001$, то мы можем подобрать нужное значение $a$ и построить тетраэдр указанного вида, так что радиус будет именно таким. И будет он лежать точно на оси $z$ очень близко к вершине $(0, 0, 1)$. Короче, примерно в точке $(0, 0, 0.999)$ с очень маленькой погрешностью. То есть искомое ТС расстояние между центрами вписанной и описанной сфер будет равно примерно $0.999$.

С этим покончили. А теперь рассмотрим другое семейство тетраэдров, чьи вершины записываются как $(\cos b, 0, \sin b), (\cos b, 0,-\sin b), (-\cos b, \sin b, 0), (-\cos b, -\sin b, 0)$. Очевидно, что центр вписанной сферы для всех них в точности совпадает с центром описанной! Кроме того, когда значение параметра $b$ очень близко к нулю, радиус вписанной сферы также будет очень мал. И снова можно выписать зависимость $r(b)$. Опять же можно подобрать такое значение $b$, что радиус будет равен все тому же $0.001$. Но у этого тетраэдра расстояние между центрами вписанной и описанной сфер будет равно в точности нулю!

И что мы в итоге видим? Два тетраэдра. Радиусы описанных сфер у них равны (единице). Радиусы вписанных сфер тоже равны (одной тысячной). Но расстояния между центрами этих сфер у каждого - разные: у первого $0.999$, у второго $0$.

Вот, собственно, и всё.

При желании можно найти, видимо, и кучу промежуточных вариантов, когда искомое расстояние будет равно чему угодно. Ну, почти чему угодно. Но это делать уже совсем лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра
Сообщение18.12.2012, 11:40 


15/05/12

359
Спасибо, Ingelrii! А я уже было начал штудировать теорию поверхностей :) Всё равно пригодится-для другого.

-- 18.12.2012, 11:47 --

Я ставлю ещё одну гипотезу (на самом деле возникшую вскоре после первой): расстояние между центрами вписанной и описанной сфер n-мерного симплекса зависит от числа параметров, меньшего, чем число рёбер этого симплекса :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group