Мощность континуума

[Snejka]

Имеется следующая задачка: доказать, что объединение счетного набора множеств мощности континуума имеет мощность континуума. Подскажите с чего начать, хотелось бы разобраться. Заранее благодарна.

[Профессор Снэйп]

$c = 1 \cdot c \leqslant \omega \cdot c \leqslant c \cdot c = c$

[mihailm]

Слишком умно, ясно же что ТС начинающий.
Например, если известно о биекции между действительными числами и последовательностями натуральных чисел, то легко понять как из четверти натуральных чисел однозначно сделать последовательность и наоборот, что и докажет теорему

[Snejka]

mihailm, Вы правы, что предыдущее слишком умно написано для меня). Спасибо за совет, но можно ли еще подробнее? Пока не понятно...

[Профессор Снэйп]

Есть такая теорема: декартов квадрат бесконечного множества имеет ту же мощность, что и само множество. Плюс ещё есть теорема Кантора-Бернштейна. Вот ими и пользуйтесь. Прочитать обо всём этом можно в любой книге по математической логике, в которой есть глава по теории множеств.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #634452 писал(а):

Есть такая теорема: декартов квадрат бесконечного множества имеет ту же мощность, что и само множество.

Это сложная теорема. Гораздо сложнее, чем $(2^{\aleph_0})^2=2^{\aleph_0}$.

-- Вт окт 23, 2012 00:46:45 --

Snejka в сообщении #634319 писал(а):

Имеется следующая задачка: доказать, что объединение счетного набора множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Счетное объединение полуинтервалов эквивалентно всей числовой прямой.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #634459 писал(а):

Это сложная теорема.

Да, сложная... Но обычно человеку, изучающему математическую логику, так или иначе приходится её выучивать. В более-менее продвинутом ВУЗе на математическом факультете он будет изучать её доказательство, в менее продвинутой шараге его заставят просто заучить формулировку наизусть. Но в любом случае на знание формулировки этой теоремы и готовность пользоваться ею следует рассчитывать.

А если уж помогать ТС по полной программе, надо его для начала спросить, как у них определяли континуум и счётную мощность.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Я учился в "шараге". Теорему изучил на четвертом курсе по книге Ф. Хаусдорфа "Теория множеств" самостоятельно. Зря Вы так категорично о "шарагах"... Не такая уж это теорема и важная, как и все то, что использует акиому выбора, впрочем.

[Профессор Снэйп]

Я обычно на семинаре, когда доходит дело до изучения мощностей, доказываю следующее утверждение: если множество $A_0$ бесконечно и для любого $i \in \mathbb{N}$ справедливо $|A_i| \leqslant |A_0|$, то $|A_0| = | \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i|$. Оно весьма полезно для решения очень многих учебных задач. Задача, предложенная в этой теме, не исключение

[Someone]

Snejka, а какие примеры множеств мощности континуум Вы знаете? Приведите как можно больше примеров, связанных с действительными числами.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #634459 писал(а):

Счетное объединение полуинтервалов эквивалентно всей числовой прямой.

У ТС не сказано, что множества, которые он собирается объединять, попарно не пересекаются

[Padawan]

(Оффтоп)

Кстати,да. То что, для любой мощности $\mathfrak n$ выполнено $\mathfrak n\cdot\aleph_0=\mathfrak n$ гораздо проще доказывается, чем $\mathfrak n^2=\mathfrak n$. Сразу из простейших операций над ординалами получается (сложение, умножение, деление с остатком). Кстати, а это утверждение зависит от аксиомы выбора?

-- Вт окт 23, 2012 01:14:04 --

Профессор Снэйп в сообщении #634485 писал(а):

У ТС не сказано, что множества, которые он собирается объединять, попарно не пересекаются

Ну, теорема Кантора-Бернштейна. Она простая. Её даже в "шарагах" проходят

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #634488 писал(а):

Кстати, а это утверждение зависит от аксиомы выбора?

От аксиомы счётного выбора точно зависит. Можно ли обойтись только ею... ну, надо подумать.

[Someone]

(Padawan)

Арифметика кардиналов очень жёстко завязана на аксиому выбора. В том числе и это свойство зависит от аксиомы выбора.
Кстати, Вы, наверное, имели в виду всё-таки не любую мощность, а бесконечную.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп в сообщении #634492 писал(а):

Padawan в сообщении #634488 писал(а):

Кстати, а это утверждение зависит от аксиомы выбора?

От аксиомы счётного выбора точно зависит. Можно ли обойтись только ею... ну, надо подумать.

Я тут пока ходил за сигаретами в ларёк, обдумал всё это дело...

То, что объединение счётного числа счётных множеств счётно, без аксиомы счётного выбора не докажешь. С другой стороны, биекция между $\mathbb{N}^2$ и $\mathbb{N}$ строится явно, без всякого выбора. Так что надо дополнительно уточнять, что подразумевается под произведением кардиналов.

Someone в сообщении #634501 писал(а):

Арифметика кардиналов очень жёстко завязана на аксиому выбора.

Всецело согласен!

Да и вообще, математика без аксиомы выбора - это как инвалид без руки и без ноги