свойства вычетов по модулю P^2

[vasili]

Уважаемые форумчане!
Помогите доказать!
Свойства вычетов по модулю P^2

Пусть P - простое число больше 3-х и
пусть имеем множество натуральных вычетов R по модулю P ^ 2 таких, что их индексы по указанному модулю равны m P т.е.

$$ ind R= mP $$

, где
m пробегает наименьшие натуральные вычеты по модулю P, т.е.

$$ m = 1, 2, 3,\ idots\, (P – 1) $$

.
Требуется доказать, что множество натуральных вычетов R (далее множество R) обладает следующим свойством:
1. Если простое число P имеет вид 6n + 1, то в множестве R имеются ТОЛЬКО 2 (две) пары чисел

$$ (R - 1, U - 1) $ и $ (R - 2, U - 2) $$

, таких, что

$$ R - 1 – U - 1 = 1 $$

, (а)

$$ R - 2 – U - 2 = 1 $$

.
2. Если простое число P имеет вид 6n + 5, то в множестве R нет ни одной пары чисел, удовлетворяющей условию (а).
Для случая, когда простое число P имеет вид 6n + 1 мне удалось доказать, что в множестве R имеются 2(две) пары чисел, удовлетворяющие условию (а), ниже привожу это доказательство. Но доказать, что только две такие пары (не более) доказать не удалось.

Очевидно в множестве R имеются числа принадлежащие показателям 3 и 6 по модулю P ^ 2, так как функция Эйлера $$ φ(P ^2 ) = φ((6n + 1)^ 2) = 6n(6n + 1)$$ делится на 3 и на 6.

--Пусть

$$ R - 1 $$

принадлежит показателю 6, т.е.

$$ R - 1^ 6 \equiv 1\ pmod P ^ 2 $$

, тогда

$$R - 1^ 3 + 1 \equiv 0\ pmod P ^ 2 $$

,

таких чисел в множестве R равно $$ φ (6) = 2 $$

и пусть второе число

$$R - 2 $$

больше

$$R - 1 $ и $$

R – 2 ^ 3 + 1\equiv 0\ pmod P ^ 2

$$, тогда имеем $$

R – 1^ 3 + 1 \ equiv (R – 1 + 1)(R – 1 ^ 2 – R - 1 + 1)\ \equiv 0\ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow\ $$

R – 1 ^ 2 – R – 1 + 1\equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$ , (б) $$

R – 2 ^ 3 + 1\equiv (R – 2 + 1)(R – 2 ^ 2 – R – 2 + 1) \ \ equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow\ $$

R – 2 ^ 2 – R – 2 + 1 \equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$. (в) Числа $$

R – 1 + 1

$$ и $$

R – 2 + 1

$$ не могут быть сравнимы с нулем по модулю P ^ 2, так как в противном случае числа $$

R – 1 и R – 2

$$ принадлежали бы показателю 2, а не 6. Вычтем из сравнения (в) сравнение (б) $$

(R – 2 – R – 1 )(R – 2 + R – 1 – 1) \equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

R – 2 + R – 1 – 1\equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ \Riqhtarrow\ $$

R – 1 \equiv 1 – R – 2 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow \ $$

R – 2 \equiv 1 – R – 1\ pmod P ^ 2

$$. --Пусть $$

U – 1

$$ принадлежит показателю 3, т.е. $$

U – 1 ^3\ equiv 1 \pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

U – 1 ^ 3 – 1 \equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, таких чисел в множестве R равно $$

φ (3) = 2

$$ и пусть второе число $$

U – 2 > U – 1

$$ и $$

U – 2 ^ 3 – 1\equiv 0\ pmod P^ 2

$$, тогда имеем $$

U – 1 ^ 3 – 1 \equiv (U – 1 – 1) (U – 1 ^ 2 + U – 1 + 1)\equiv 0 \ pmod P^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

U – 1 ^ 2 + U – 1 + 1)\equiv 0 \ pmod P^ 2

$$, (г) $$

U – 2 ^ 3 – 1 \equiv (U – 2 – 1) (U – 2 ^ 2 + U – 2 + 1)\equiv 0 \ pmod P^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

U – 2 ^ 2 + U – 2 + 1)\equiv 0 \ pmod P^ 2

$$, (д) Вычтем из сравнения (д) сравнение (г) $$

(U – 2 – U – 1) (U – 2 + U – 1 – 1) \equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow\ $$

U – 2 + U – 1 – 1\equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow\ \Riqhtarrow\ $$

U – 1 \equiv 1 – U – 2 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow \ $$

U – 2 \equiv 1 – U – 1\ pmod P ^ 2

$$. Анализ сравнений (б), (в), (г) и (д). Из сравнения (б) вычтем сравнение (г) $$

(R – 1 + U – 1) (R – 1 – U – 1 – 1) \equiv0\ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

(R – 1 – U – 1 – 1) \equiv 0\ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

R – 1 – U – 1 \equiv 1\ pmod P ^ 2

$$, (е) так как $$

R – 1 + U – 1

$$ не сравнимо с нулем по модулю P ^ 2 (доказательство ниже). Из сравнения (в) вычтем сравнение (г) $$

(R – 2 + U – 2) (R – 2 – U – 2 – 1) \equiv0\ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

(R – 2 – U – 2 – 1) \equiv 0\ pmod P ^ 2

$$ \Riqhtarrow\ $$

R – 2 – U – 2 \equiv 1 \ pmod P ^ 2

$$, (ж) так как $$

R – 2 + U – 2

$$ не сравнимо с нулем по модулю P ^ 2 (доказательство ниже). Числа $$

R – 2 + U – 2

$$ и $$

R – 1 + U – 1

$$ не сравнимы с нулем по модулю P ^ 2. Доказательство от противного. Пусть $$

R – 2 + U – 2 \ equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, тогда благодаря сравнениям $$

R – 2 \equiv 1 - R – 1 \ pmod P ^ 2

$$ и $$

U – 2 \equiv 1 - U – 1 \ pmod P ^ 2

$$ имеем $$

1 – R – 1 + ( - 1 – U – 1 ) \ equiv – (R – 1 + U – 1 )\ \ equiv 0\ pmod P ^ 2

$$, отсюда, так как $$

R – 1 < P ^ 2

$$ и $$

U – 1 < P ^ 2

$$ имеем $$

R – 1 + U – 1 = P ^ 2

$$, но так как $$

R – 2 > R – 1

$$ и $$

U – 2 > U – 1

$$, то тогда должно $$

R – 2 + U – 2 = 2 P ^ 2

$$, что невозможно, так как $$

R – 2 < P ^ 2

$$ и $$

U – 2 < P ^ 2

$$. Пусть теперь $$

R – 1 + U – 1 \equiv 0\ pmod P ^ 2

$$, , тогда благодаря тем же сравнениям имеем $$

1 - R2 + (- 1 - U2) \equiv - ( R2 + U2)\ \equiv 0 \ pmod P ^ 2

$$, \Riqhtarrow\ $$

R – 2 + U – 2 = 2 P ^ 2

$$, что невозможно. Пришли к противоречии., значит наше утверждение, верно. Так как числа $$

(R - 1, R – 2 , U – 1 , U – 2) < P ^ 2

$$, то из сравнений (е) и (ж) следует $$

R – 1 – U - 1 = 1

$$, (а) $$

R – 2 – U – 2 = 1

$$, т.е. установлено существование в множестве R 2(двух) пар чисел $$

(R – 1 и U – 1)

$$ и $$

(R – 2 и U - 2 )

$$, удовлетворяющих условию (а). Если принять логику вышеприведенного доказательства достаточной, то для случая когда $$

P = 6n + 5

$$ в множестве R нет ни одной пары чисел удовлетворяющей условию (а), так как функция Эйлера $$

φ(P ^ 2) = φ((6n + 5) ^ 2)= (6n + 4)(6n + 5)

$$ не делится ни на 3, ни на 6. Частные примеры подтверждают, что только две пары чисел, принадлежащие множеству R, удовлетворяют условию (а), если $$

P = 6n + 1

$$ и нет ни одной пары таких чисел, если $$

P = 6n + 5

$$. Автор имеет примеры для $$

P = 7, 13, 19, 31

$$ и для $$

P = 5, 11, 17

$$. Ниже привожу примеры, только для $$

P = 7, 13

$$ и пример только для $$

P = 17

$$. По желанию читателей автор готов показать и другие примеры. Пусть $$

P = 7$, [math]$$ P ^2 = 49$$, $$g = 3$, $$φ(7 ^2) = (7 – 1)7 = 42$$, где g - (здесь и далее соответствующий наименьший первообразный корень по модулю P ^2), чтобы не загромождать текст, числа R записаны без индексов
$$R\equiv 3 ^ 7\ \ equiv31\ pmod 49$$,
$$R\equiv 3^ 14\ \equiv 30\ pmod 49$$,
$$R\equiv 3^ 21\ \equiv 48\ \equiv – 1\ pmod 49$$,
$$R\equiv 3^28\ \equiv 18\ pmod 49$$,
$$R\equiv 3 ^35\ \equiv 19\ pmod 49$$,
$$R \equiv3 ^42\ \equiv 1\ pmod 49$$.
В этом множестве R имеется две пары чисел. Это числа $$(31, 30)$$ и $$(19,18)$$, такие, что
$$31 - 30 = 1$$ и $$19 – 18 = 1$$ и
$$30^ 3\equiv 1\ pmod 49$$ и $$18^ 3\equiv 1\ pmod 49$$, а так же
$$31^ 3 + 1\equiv 0\ pmod 49$$ и $$19^ 3 + 1\equiv 0 \ pmod 49$$.


Пусть $$P = 13$$, $$P ^2 = 169$$, $$g = 2$$, $$φ(13 ^2) = (13 – 1)13 = 152$$
$$R\equiv 2 ^ 13\ \equiv 80\ pmod 169$$,
$$R \equiv 2 ^ 26\ \equiv 147\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 39\ \equiv 99\ pmod 169$$,
$$R \equiv 2 ^ 52\ \equiv 146\ pmod 169$$,
$$R \equiv 2 ^ 65\ \equiv 19\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 78\ \equiv 168\ \equiv – 1\ pmod 169$$,
$$R \equiv 2 ^ 91\ \equiv 89\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 104\ \equiv 22\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 117\ \equiv 70\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 130\ \equiv 23\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 143\ \equiv 150\ pmod 169$$,
$$R\equiv 2 ^ 156\ \equiv 1\ pmod 169$$.
В этом множестве R имеется две пары чисел. Это числа $$(147,146)$$ и $$(23,22)$$, такие, что
$$147 – 146 =1$$ и $$23 – 22 = 1$$ и
$$146 ^3 \equiv1\ pmod 169$$ $$22 ^3 \equiv 1\ pmod 169$$
$$147 ^3 + 1\equiv 0\ pmod 169$$, $$23 ^3 + 1\equiv 0\ pmod 169$$.

Пусть $$P =17$, $$P ^2 =289$$, $$g = 3$$, $$φ(17 ^2) = (17 – 1)17 =272$$[/math],
R\equiv 3 ^17\ \ equiv 224\ pmod 289,
R\equiv3 ^34 \ \equiv 179\ pmod 289,
R\equiv 3 ^51\ \ equiv 214\ pmod 289,
R\equiv 3 ^68\ \ equiv 251\ pmod 289,
R\equiv 3 ^85\ \ equiv 158\ pmod 289,
R\equiv 3 ^102\ \ equiv 134\ pmod 289,
R\equiv 3 ^119\ \ equiv 249\ pmod 289,
R\equiv 3 ^136\ \ equiv 288\ \ equiv – 1 \pmod 289,
R\equiv 3 ^153\ \ equiv 65\ pmod 289,
R\equiv 3 ^170\ \ equiv 110\ pmod 289,
R\equiv 3 ^187\ \ equiv 75\ pmod 289,
R\equiv 3 ^204\ \ equiv 38\ pmod 289,
R\equiv 3 ^221\ \ equiv 131\ pmod 289,
R\equiv 3 ^238\ \ equiv 155\ pmod 289,
R\equiv 3 ^255\ \ equiv 40\ pmod 289,
R\equiv 3 ^272\ \ equiv 1\ pmod 289,

В этом множестве R нет чисел с разностью модулей равной 1.


С уважением Василий Полежаев

Уважаемый Модератор!
Сообщение в карантине АКМ - «Свойства вычетов по модулю {P^2}» исправлено.
1. Греческое φ заменил на \varphi.
2. \Rightarrov расположил внутри формул.
3. Для нумерованных формул [(1), (а), (b), (g), (d), (е) и (r)] использовал конструкцию

$$......\eqno( )$$

/
4. \pmod P^2 заменил на \pmod{ P^2}.
5. Множество {R} заменил на множество \{R\}.
6. Исправил \eguiv и \egno на \equiv \eqno
7. Выполнил п.3 Сообщения о частных примерах. Теперь они есть для P = 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 31
Благодарю за указанные ошибки и способ их устранения.
Прошу, если это возможно, вернуть мое сообщение на форум.
Василий Полежаев.

Toucan:

Перенесено из post639839.html#p639839

Уважаемые Форумчане!

1.Меня заинтересовали (в связи с работой над ВТФ) свойства той части вычетов по модулю $P^2$ (P – простое число > 3), индексы, которых по указанному модулю, равны $mP$, где m пробегает систему наименьших натуральных вычетов по модулю P, т.е.
$m = 1, 2, 3,\Idots ,……, {P - 1}$.
2. Пусть \{R\} совокупность таких вычетов по модулю $P^2$ .
3. Частные примеры (ниже) совокупностей вычетов \{R\} по модулям $5^ 2$, $7^ 2$, $11^ 2$, $13^ 2$, $17^ 2$, $19^ 2$ и $31^ 2$ указывают на существовании у таких вычетов интересных свойств, а именно:
3.1. Если простое число P имеет вид $6n + 1$ в частности числа 7,13,19 и 31, то в каждой совокупности вычетов \{R\} по соответствующим модулям $7^ 2$, $13^ 2$, $19^ 2$ и $31^ 2$ имеются только 2(две) пары чисел $(R_1, U_1)$ и $(R_2, U_2)$ таких, что
$R_1 - U_1 = 1\egno (1) $,
$R_2 - U_2 = 1\egno (1) $.
3.2. Если простое число P имеет вид $6n + 5$ в частности числа 5, 11 и 17, то в каждой совокупности вычетов \{R\} по соответствующим модулям $5^ 2$, $11^ 2$ и $17^ 2$, нет ни одной пары чисел удовлетворяющих условию (1).

Предлагаю доказательство наличия 2(двух) пар чисел в совокупности вычетов \{R\}, если P имеет вид $6n + 1$.
4. Очевидно в \{R\} имеются вычеты (далее числа) принадлежащие показателям 6 и 3 по модулю $P^2$ , так как функция Эйлера $\varphi (6n + 1)^ 2= 6n(6n + 1)$ делиться на 6 и на 3.
Пусть число $R_1 $ принадлежит показателю 6 по модулю $P^2$, т.е.
$R_1 ^ 6 \equiv 1\ pmod {P^2}\Rightarrow R_1^3 + 1\equiv 0\ pmod{P^2}$, таких чисел в множестве \{R\} равно
$\varphi(6)\ = 2$ и пусть второе число $R_2$ > $R_1 $ > 1 и
$R_1^3+ 1\equiv 0\ pmod{P^2}$, тогда
$ R_1 ^3+ 1\equiv (R_1 + 1)( R_1 ^2 - R_1+ 1)\equiv 0 \pmod {P ^2}$, отсюда

$$R_1 ^2 - R_1 + 1\equiv 0\pmod {P^2}\egno (a) $$

,
$ R_2 ^3+ 1\equiv (R_2 + 1)( R_2 ^2 - R_2 + 1)\equiv 0 \pmod {P ^2}$, отсюда

$$R_2 ^2 - R_2 + 1\equiv 0\pmod {P^2}\egno (b) $$

,
Числа $R_1 + 1$ и $ R_2+ 1$ не могут быть сравнимы с нулем по модулю $P^2$, так как в противном случае числа $R_1 $ и $R_2$ принадлежали бы показателю 2, а не 6.

5. Вычтем из сравнения (b) сравнение (а)

$ (R_2 - R_1)( R_2 + R_1 - 1)\equiv 0\ pmod{P^2}$, отсюда $ R_2 - R_1 - 1\equiv 0\ pmod {P^2}\Rightarrow R_1\equiv 1 - R_2\ pmod{P^2}$, а отсюда $R_2\equiv 1 - R_1\ pmod{P^2}$.


6. Пусть число $U_1$ принадлежит показателю 3 по модулю $P^2$, т.е.
$U_1^ 3\equiv1\ pmod{P^2}\Rightarrow U_ 1^ 3 - 1\equiv 0\ pmod {P^2}$, таких чисел в множестве \{R\} равно
$\varphi(3) = 2$ и пусть второе число $U_2 > U_1$ и $U_ 2^3 - 1\equiv0\ pmod{P ^2} $, тогда
$U_1^ 3 - 1 \equiv (U - 1) (U_1^ 2 + U_1+ 1)\equiv 0\ pmod {P^2}$, отсюда

$$U_1^ 2 + U_1 + 1\equiv 0\ pmod {P^2}\eqno(g)$$

, $U_2^ 3 - 1\equiv (U_2 - 1)(U_2^ 2 + U_2 + 1)\equiv 0\ pmod{P^2}$, отсюда

$$U_2^ 2 + U_2 + 1 \equiv0 \ pmod{P^2}\eqno(d) $$

.

Число $U_1$ не может равняться 1, в противном случае оно не принадлежало бы показателю 3 по модулю $P^2$, а число $ U_2 > U_1 $ тем более не равно 1.

7. Вычтем из сравнения (d) сравнение (g)
$( U_2 - U_1)( U_2 + U_1 + 1)\equiv 0\ pmod {P^2}$, отсюда $U_2 + U_1 + 1 \equiv 0\ pmod {P ^ 2}\Rightarrow U_1\equiv - 1 - U_2\ pmod{P^2}$, а отсюда $U_2 \equiv -1 - U_1\ pmod {P ^2}$.
8. Анализ сравнений (а), (b), (g) и (d).
8.1. Из сравнения (а) вычтем сравнение (g)
$(R_1 + U_1)(R_1 - U_1 - 1) \equiv0 \pmod{ P^2}$, отсюда $R_1 - U_1 - 1\equiv0\ pmod {P^2}$, а отсюда

$$ R_1 - U_1 \equiv1\ pmod {P^2}\eqno (e)$$

.
8.2, Из сравнения (b) вычтем сравнение (d)
$(R_2+ U_2)( R_2 - U_2 - 1) \equiv0 \pmod{ P^2}$, отсюда $ R_2 - U_2 - 1\equiv0\ pmod {R^2}$, а отсюда

$$R_2 - U_2 \equiv1\ pmod {P^2}\eqno (r)$$

Числа $( R_1 + U_1)$ и $(R_2 + U_2)$ не сравнимы с нулем по модулю $P^2$.
Докажем от противного.
Пусть
$( R_2 + U_2)\equiv 0\ pmod{P^2}$, тогда благодаря сравнениям
$R_2\equiv 1 - R_1\ pmod{P^2}$ и $U_2 \equiv - 1 - U_1 \ pmod {P^2}$
имеем $1 - R_1+ (- 1 - U_1) \equiv- (R_1 + U_1)\equiv0\ pmod {P^2}$,
отсюда $ (R_1 + U_1) = {P^2}$ , так как $R_1 < {P^2}$ и $U_1 <{P^2}$ , но так как $ R_2 > R_1 $ и $ U_2> U_1 $, то тогда должно
$ R_2 + U_2= 2{P^2}$., что невозможно, так как, и $ R_2 < {P^2}$, и $ U_2< {P^2}$.
Пусть теперь $( R_1 + U_1) \equiv 0\pmod{P^2}$ , тогда благодаря тем же сравнениям имеем
$1 -R_2 + ( - 1 - U_2) \equiv - (R_2 + U_2)\equiv 0\ pmod{P^2}$, , отсюда $ R_2 + U_2 = 2{P^2}$ что невозможно. Пришли к противоречию, значит утверждение, верно.
9.Так как числа $ (R_1, R_2, U_1, U_2 ) < {P^2}$, то из сравнений (e) и (r) следует
$ R_1 - U_1= 1$, $ R_2 - U_2 = 1$,
т.е. установлено существование в множестве \{R\} 2(двух) пар чисел
$(R_1 , U_1)$ и $(R_2 , U_2)$, удовлетворяющих условию (1).

10. Выскажем Утверждения.
Утверждение 1. Если $Р = 6n + 1$, то в множестве \{R\} существует только
2(две) пары чисел, удовлетворяющие условию (1).
Утверждение 2. Если $Р = 6n + 5$, то в множестве \{R\ не существует ни одной
пары чисел, удовлетворяющие условиям (1), так функция Эйлера
$\varphi(6n + 5) ^ 2 = (6n + 4)(6n + 5) $ не делиться на 6, а значит и на 3.

Уважаемые Форумчане! Я доказал наличие (для $P =6n + 1$\) в множестве \{R\} 2(двух) пар чисел удовлетворяющих условию (1), но доказать, что их только две пары (не более) не удалось. Одновременно справедливо ли распространять вышеприведенную логику доказательства на множество \{R\} для $P = 6n + 5$? Прошу Вашей помощи.

Частные примеры подтверждают, что только две пары чисел принадлежащие \{R\}удовлетворяют условию (1), если $P = 6n + 1$ и нет ни одной пары таких чисел, если $P = 6n + 5$.
Примеры, если $P = 7, 13, 19, 31$ и $ P = 5, 11, 17$.

Пусть P = 7, $P^2$ = 49, g = 3, $\varphi(7 ^ 2) = (7 - 1)7 = 42$, где g - здесь и далее соответствующий наименьший первообразный корень по модулю $P^2$ . Чтобы не загромождать текст, числа R записаны без индексов
$R\equiv 3^7 \equiv 31\ pmod {49}$,
$R \equiv 3^1^4 \equiv 30\ pmod {49}$,
$R\equiv 3^2^1 \equiv 48\ pmod {49}$,
$R\equiv 3^2^8 \equiv 18\ pmod {49}$,
$R \equiv 3^3^5 \equiv 19\ pmod {49}$,
$R\equiv 3^4^2 \equiv 1\ pmod {49}$.
В этом множестве \{R\} имеется две пары чисел. Это числа (31, 30) и (19,18), такие, что
31 - 31 = 1 и 19 – 18 = 1 и
$30^3\equiv 1\ pmod {49}$ и $18^ 3\equiv 1\ pmod {49}$, а так же
$31^ 3+ 1\equiv 0\ pmod {49}$ и $19^3 + 1\equiv 0\ pmod {49}$.

Пусть P = 13, $P^2$ = 169 , g = 2, $\varphi(13 ^ 2) = (13 - 1)13 = 152$
$R\equiv 2^ 1^3\equiv 80\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 2^6\equiv 147\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 3^9\equiv 99\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 5^2\equiv 146\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 6^5\equiv 19\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 7^8\equiv 168\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 9^1\equiv 89\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 1^0^4\equiv 22\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 1^1^7\equiv 70\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 1^3^0\equiv 23\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 1^4^3\equiv 150\ pmod{169}$,
$R\equiv 2^ 1^5^6\equiv 1\ pmod{169}$.
В этом множестве \{R\} имеется две пары чисел. Это числа (147,146) и (23,22), такие, что
147 – 146 =1 и 23 – 22 = 1 и
$146^ 3\equiv1\ pmod {169}$ , $22^ 3\equiv1\ pmod {169}$,
$147^ 3+ 1\equiv 0\ pmod {169}$, $23^ 3+ 1\equiv 0\ pmod {169}$.

Пусть P = 19, $P^2$ = 361, g = 2, $\varphi(19 ^ 2) = (19 - 1)19 = 342$
$R \equiv 2^ 1^9\equiv116\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 3^8\equiv99\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 5^7\equiv293\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 7^6\equiv54\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 9^5\equiv127\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 1^1^4\equiv292\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 1^3^3\equiv299\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 1^5^2\equiv28\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 1^7^1\equiv360\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 1^9^0\equiv245\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 2^0^9\equiv262\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 2^2^8\equiv 68\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 2^4^7\equiv307\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 2^6^6\equiv234\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 2^8^5\equiv69\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 3^0^4\equiv62\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 3^2^3\equiv333\ pmod {361}$,
$R \equiv 2^ 3^4^2\equiv1\ pmod {361}$,
В этом множестве \{R\} имеется две пары чисел. Это числа (293, 292) и (69, 68), такие, что
293 – 292 = 1, 69 – 68 = 1 и
$292 ^ 3 \equiv 1\ pmod {361}$, $68 ^ 3\equiv 1\ pmod {361}$,
$293 ^ 3+ 1\equiv 0\ pmod {361}$, $69 ^ 3+ 1\equiv 0\ pmod {361}$.

P = 31, g = 3, $P^2$= 961, $\varphi(31 ^ 2) = (31 - 1)31 = 930$
$R \equiv3 ^ 3^1\equiv 623\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 6^2\equiv 846\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 9^3\equiv 430\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 1^2^4\equiv 732\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 1^5^5\equiv 522\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 1^8^6\equiv 388\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 2^1^7\equiv 513\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 2^4^8\equiv 547\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 2^7^9\equiv 587\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 3^1^0\equiv 521\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 3^4^1\equiv 726\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 3^7^2\equiv 628\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 4^0^3\equiv 117\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 4^3^4\equiv 816\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 4^6^5\equiv 960\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 4^9^6\equiv 338\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 5^2^7\equiv 115\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 5^5^8\equiv 531\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 5^8^9\equiv 229\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 6^2^0\equiv 439\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 6^5^1\equiv 573\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 6^8^2\equiv 448\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 7^1^3\equiv 414\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 7^4^4\equiv 378\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 7^7^5\equiv 440\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 8^0^6\equiv 235\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 8^3^7\equiv 333\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 8^6^8\equiv 844\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 8^8^9\equiv 145\ pmod {961}$,
$R \equiv3 ^ 9^3^0\equiv 1\ pmod {961}$,
В этом множестве \{R\} имеются две пары чисел (522, 521) и (440, 439) таких, что
522 - 521 =1 и 440 - 439 = 1, а так же
$522 ^ 3 + 1\equiv 0\ pmod {961}$, $440 ^ 3 + 1\equiv 0\ pmod {961}$,
$521 ^ 3 \equiv 1\ pmod {961}$, $439 ^ 3\equiv 1\ pmod {961}$.

Пусть P = 5, $P^2$= 25, g = 2, $\varphi(5^2) = (5 - 4)5 = 20$,
$R\equiv 2^ 5\equiv 7\ pmod {25}$,
$R\equiv 2^ 1^0\equiv 24\ pmod {25}$,
$R\equiv 2^ 1^5\equiv 18\ pmod {25}$,
$R\equiv 2^ 2^0\equiv 1\ pmod {25}$,
В этом множестве \{R\} нет чисел с разностью модулей равной 1.

Пусть P = 11, $P^2$= 121, g = 2, $\varphi(11^ 2) = (11 - 1)11 =110$. $R \equiv2^ 1^1\equiv 112\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 2^2\equiv 81\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 3^3\equiv 118\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 4^4\equiv 27\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 5^5\equiv 120\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 6^6\equiv 9\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 7^7\equiv 40\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 8^8\equiv 3\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 9^9\equiv 94\ pmod {121}$,
$R \equiv2^ 1^1^0\equiv 1\ pmod {121}$,
В этом множестве \{R\} нет чисел с разностью модулей равной 1.

Пусть P =17, $P^2$= 289, g = 3, $\varphi(17^ 2) = (17 - 1)17 =272$.
$R\equiv 3^ 1^7\equiv 224\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 3^4\equiv 179\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 5^1\equiv 214\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 6^8\equiv 251\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 8^5\equiv 158\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^0^2\equiv 134\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^1^9\equiv 249\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^3^6\equiv 288\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^5^3\equiv 65\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^7^0\equiv 110\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 1^8^7\equiv 75\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 2^0^4\equiv 38\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 2^2^1\equiv 131\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 2^3^8\equiv 155\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 2^5^5\equiv 40\ pmod {289}$,
$R\equiv 3^ 2^7^2\equiv 1\ pmod {289}$,
В этом множестве \{R\} нет чисел с разностью модулей равной 1.

Василий Полежаев

-- Вс 04.11.12 19:53:16 --

[photon]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:
- неправильно оформлены формулы
- не тот раздел

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.