Сумма белых чисел

[Ktina]

Вдоль окружности расставлены белые и чёрные вещественные числа.
Каждое белое число равно сумме обоих своих соседей.
Каждое чёрное число равно среднему арифметическому обоих своих соседей.

Чему может быть равна сумма всех белых чисел?
(найти все возможные варианты и доказать, что других нет)

[_Ivana]

Если числа расставлены подряд и по очереди (что не сказано в условии, и может не иметься в виду), тогда нас получается система линейных уравнений, которая однозначно определяет все числа, если конечно матрица не сингулярна (а она судя по всему хорошая). Тривиальное решение - каждое число равно нулю, сумма всех равна нулю. Если числа расставлены как угодно, то продолжаем думать.

[Ktina]

_Ivana в сообщении #628634 писал(а):

Если числа расставлены подряд и по очереди (что не сказано в условии...

Вот именно...

[Aritaborian]

Белые числа чередуются с чёрными? Или они тусуются в полном беспорядке? Количество точек (чисел) произвольно?

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #628648 писал(а):

Белые числа чередуются с чёрными? Или они тусуются в полном беспорядке? Количество точек (чисел) произвольно?

Таки тусуются. Ксюжжко -- супертусовщица
Число чисел произвольно (но обязательно натурально ), но есть хотя бы одно белое и хотя бы одно чёрное.

[TOTAL]

Сумма белых равна удвоенной сумме белых минус сумма граничных белых плюс сумма граничных черных.
Сумма черных равна сумме черных минус полусумма граничных черных плюс полусумма граничных белых.

Поэтому сумма белых равна нулю.

[Naf2000]

а есть нетривиальный пример?

[TOTAL]

Naf2000 в сообщении #628708 писал(а):

а есть нетривиальный пример?

Цепочка из $+1$, затем $0$, затем цепочка из $-1$, затем $0$ и т.д.

Или так: $-1, +1, +3, +2, -1, -4, -3, -2$

[Ktina]

TOTAL в сообщении #628695 писал(а):

Сумма белых равна удвоенной сумме белых минус сумма граничных белых плюс сумма граничных черных.
Сумма черных равна сумме черных минус полусумма граничных черных плюс полусумма граничных белых.

Поэтому сумма белых равна нулю.

Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".

Вот моё решение (возможно, ошиблась):

Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа белые, через А.
Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа разного цвета, через В.
Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа чёрные, через С.

Тогда сумма белых чисел равна 2А+В.
А сумма всех чисел равна А+В+С. А также она равна 2А+1,5В+С, из чего следует, что А+0,5В=0. Умножая на 2, имеем 2А+В=0, но это и есть сумма белых чисел.
*Данный способ не охватывает случай, когда у нас ровно два числа -- одно чёрное и одно белое. Но там всё очевидно -- белое равно удвоенному чёрному, а чёрное равно белому. Таким образом, белое равно удвоенному самому себе, сиречь, нулю.
Ответ: 0

[TOTAL]

Ktina в сообщении #628743 писал(а):

Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".

Если справа от белого стоит черное, то белое - граничное. Если слева от белого стоит черное, то белое - снова граничное. (Т.е. одиночное белое считается дважды как граничное.)

[Ktina]

TOTAL в сообщении #628772 писал(а):

Ktina в сообщении #628743 писал(а):

Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".

Если справа от белого стоит черное, то белое - граничное. Если слева от белого стоит черное, то белое - снова граничное. (Т.е. одиночное белое считается дважды как граничное.)

А моё решение верно?
Почему я спрашиваю, потому что авторское решение -- иное:
http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=111807

[TOTAL]

Ktina в сообщении #628776 писал(а):

А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #628783 писал(а):

Ktina в сообщении #628776 писал(а):

А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

Каждое число, у которого оба соседа белые, входит в эту сумму дважды. Каждое число, у которого оба соседа разноцветные, входит в эту сумму единожды. Я не права?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #628876 писал(а):

TOTAL в сообщении #628783 писал(а):

Ktina в сообщении #628776 писал(а):

А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

Каждое число, у которого оба соседа белые, входит в эту сумму дважды. Каждое число, у которого оба соседа разноцветные, входит в эту сумму единожды. Я не права?

Например, если цвета чередуются, то сумма белых равна С.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #628883 писал(а):

Например, если цвета чередуются, то сумма белых равна С.

А что мешает в этом случае выполняться равенству С=2А+В?