2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 14:07 


21/09/12
44
Пусть кривая задается системой $f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0$. Найти касательную плоскость к этой кривой.
Знаю, как находить такую плоскость(касательную в точке), если кривая задана как $r(t)$: тогда плоскость будет параллельна векторам $r'(t), r''(t)$. А как быть с заданием кривой как в задаче выше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 14:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Есть понятия соприкасающаяся плоскость (то, что Вы назвали касательной), спрямляющая плоскость, нормальная плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 14:29 


10/02/11
6786
Padawan i would like to draw your attention to the following funny thing
topic62610.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 15:09 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Пусть, например, $\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)}\neq 0$. Тогда в окрестности рассматриваемой точки уравнения $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ можно разрешить относительно $x$ и $y$ как $x=x(z), y=y(z)$. Продифференцируем два раза тождества $f(x(z),y(z),z)=0$, $g(x(z),y(z),z)=0$. Получим $$f_xdx+f_ydy+f_zdz=0$$$$g_xdx+g_ydy+g_zdz=0$$$$f_{xx}dx^2+f_{yy}dy^2+f_{zz}dz^2+2f_{xy}dxdy+2f_{xz}dxdz+2f_{yz}dydz+f_xd^2x+f_yd^2y=0$$$$g_{xx}dx^2+g_{yy}dy^2+g_{zz}dz^2+2g_{xy}dxdy+2g_{xz}dxdz+2g_{yz}dydz+g_xd^2x+g_yd^2y=0$$

Из первых двух находим $dx, dy$. Из вторых двух $d^2x$, $d^2 y$ (все выражаем через $dz$). Записываем вектора $$r'_z=\left(\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz},1\right)$$$$r''_z=\left(\frac{d^2x}{dz^2},\frac{d^2y}{dz^2},0\right)$$
Записываем уравнение соприкасающейся плоскости.
Может можно и проще, но все эти частные производные вычислять по-любому придется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
кажется, можно красивее

параметризуем нашу кривую так, чтобы $r'=\nabla f\times\nabla g$

в этом случае $r''=(\nabla f)'\times \nabla g+\nabla f\times(\nabla g)'$

и вектор нормали искомой плоскости
$$
n=r'\times r''=\nabla g(\nabla g,\nabla f,(\nabla f)')+\nabla f(\nabla f,\nabla g,(\nabla g)')
$$

осталось заметить, что $(\nabla h)'=(\nabla f,\nabla g,\nabla)\nabla h$

-- Пт сен 28, 2012 18:58:30 --

Собственно, последнее вычисление основано на простой формуле
$$
[F(r(t))]'=(\nabla F,\nabla f,\nabla g),
$$
дифференцирования вдоль данной кривой

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 19:15 


21/09/12
44
Хотелось бы внести ясность в способ Padawan (кажется, я многого не понимаю)).
Цитата:
Пусть, например, $\frac{\partial (f,g)}{\partial (x,y)}\neq 0$. Тогда в окрестности рассматриваемой точки уравнения $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ можно разрешить относительно $x$ и $y$ как $x=x(z), y=y(z)$.


Это какое-то следствие теоремы о неявной функции?

Потом, пусть $x(z), y(z)$, тогда исходные функции становятся функциями от одной переменной, $f(z), g(z)$. А первый дифференциал в Вашем сообщении выглядит так, будто $x,y,z$ это три независимых переменных
$$f_xdx+f_ydy+f_zdz=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Nagva1 в сообщении #624446 писал(а):
Это какое-то следствие теоремы о неявной функции?


да:
применим теорему о неявной функции к $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, определенной как $F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$

Nagva1 в сообщении #624446 писал(а):
Пусть теперь $x(z), y(z)$, тогда исходные функции становятся функциями от одной переменной, $f(z), g(z)$



нет: $f$ и $g$ определены как функции трех аргументов, из них можно сделать функции одного аргумента $F(z)=f(x(z),y(z),z)$... но это совершенно не относящиеся к делу функции

-- Пт сен 28, 2012 19:23:40 --

Вот простой пример: пусть $f=x-z$, $g=y-z^2$

пересечение тут -- кривая $x(t)=t$, $y(t)=t^2$, $z(t)=t$ но ведь функция $f$ не стала от такой замены тождественным нулем! Да, на кривой она -- ноль, но градиент у нее в ноль нигде не обращается

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 19:37 


21/09/12
44
А что вообще такое дифференциал от функции типа $F(x,y,z)=0$(да и функции ли? Что и чему она сопоставляет? Т.е. где тут независимая переменная?) У нас дифференциал $G(x,y,z) \to R^m$ определялся как ограниченный линейный оператор $A$, для которого выполняется $G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \Alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$. Как это определение приложить к такой $F(x,y,z)=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):
да и функции ли?


она ставит в соответствие точке с координатами $(x,y,z)$ число $F(x,y,z)$

но
Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):
$F(x,y,z)=0$(


это уже уравнение, которому удовлетворяют точки, лежащие на некоторой поверхности

-- Пт сен 28, 2012 19:45:48 --

вот давайте по-простому

есть пара функций $f(x,y,z)=x-z$ и $g(x,y,z)=y-z^2$

у этих функций есть настоящии дифференциалы в каждой точке (Вы же умеете их вычислять)

теперь посмотрим на множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $f(x,y,z)=0$

это -- плоскость $x=z$

уравнение $g(x,y,z)=0$ задает параболический цилиндр $y=z^2$

эти две поверхности пересекаются по некоторой кривой

-- Пт сен 28, 2012 20:01:46 --

(Оффтоп)

Nagva1 в сообщении #624456 писал(а):
У нас дифференциал $G(x,y,z) \to R^m$ определялся как ограниченный линейный оператор $A$, для которого выполняется $G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \Alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$

Вы не очень хорошо понимаете что пишете, лучше так:
дифференциалом отображения $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ в точке $P\in\mathbb{R}^n$ называется линейный оператор $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, для которого
$$
\|G(v+h)-G(v)-Ah\|=o(\|h\|)
$$
здесь $v=\vec{OP}$.

Пример ($n=3$, $m=1$). Пусть $G(x,y,z)=y-z^2$ (когда система координат фиксирована соответствие между тройками чисел и векторами однозначно). В этом случае дифференциал в точке $P(x_P,y_P,z_P)$
$$
G(x_P+dx,y_P+dy,z_P+dz)-G(x,y,z)=dy-dz(2z_P+dz)=dy-2z_Pdz+o(\|h\|).
$$
Таким образом $Av=(\vec{e}_y-2z_P\vec{e_z},v)=x-2z_Pz$ (вектор $v$ имеет координаты $x,y,z$). То есть наш линейный оператор является скалярным умножением на некоторый вектор. Этот вектор называют еще градиентом функции в данном точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение28.09.2012, 22:11 


21/09/12
44
Оч. интересный оффтоп..
Цитата:
Таким образом $Av=(\vec{e}_y-2z_P\vec{e_z},v)=x-2z_Pz$


тут нет опечатки? Из предыдущего двойного равенства вижу, что $Av=dy-2z_pdz$, а тут откуда-то $x$ появился..

По основной задаче:
Цитата:
Из первых двух находим $dx, dy$. Из вторых двух $d^2x$, $d^2 y$ (все выражаем через $dz$). Записываем вектора $$r'_z=\left(\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz},1\right)$$$$r''_z=\left(\frac{d^2x}{dz^2},\frac{d^2y}{dz^2},0\right)$$


Но зачем нам эти векторы? Почему плоскость будет им параллельна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение29.09.2012, 05:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Nagva1 в сообщении #624306 писал(а):
Знаю, как находить такую плоскость(касательную в точке), если кривая задана как $r(t)$: тогда плоскость будет параллельна векторам $r'(t), r''(t)$.

А тут кривая задана как $r(z)=(x(z),y(z),z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение29.09.2012, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Nagva1 в сообщении #624518 писал(а):
тут нет опечатки?


да, конечно, опечатался, там $y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение29.09.2012, 22:01 


13/11/11
574
СПб
Всё-таки не пойму про
Цитата:
применим теорему о неявной функции к $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$, определенной как $F(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z))$


На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_неявной_функции[/url] есть многомерный случай, но сюда он никак не лепится O_o

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение30.09.2012, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Unconnected в сообщении #624943 писал(а):
На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_неявной_функции[/url] есть многомерный случай, но сюда он никак не лепится O_o


В нашем случае $n=1$, $m=2$. То самое отображение $f:U\to V$, о котором там написано, и есть нужное нам $z\mapsto (x(z),y(z))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательная плоскость к кривой
Сообщение30.09.2012, 14:13 


21/09/12
44
А, теперь ясно.
Я тут задумался над определением дифференциала в нашем курсе, вот этим:
$G(x,y,z)-G(x+dx,y+dy,z+dz)=A(h) + \alpha(h) \cdot ||h||$, $h=(dx,dy,dz)$, - слева вектор, а справа вектор плюс.. непонятно что. Или, может, $\alpha(h)$ это бесконечно малая от вектора? В принципе, подходит, но такого у нас не определяли..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group