2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о континууме
Сообщение19.09.2012, 20:47 


19/09/12
1
Добрый день! Хочу попросить помочь мне в доказательстве, что если континуальное множество разбито на счётное число подмножеств, то среди них есть континуальное. У меня получилось следующее:

* Если подмножеств конечно, то обозначим множества $|A_1| \leqslant |A_2| \leqslant ... \leqslant |A_n|$, поэтому $|A_n| \leqslant |A_1 + A_2 + ... + A_n| \leqslant |A_n \cdot n| = |A_n|$, но объединение континуально, а потому и $A_n$ континуально.

* Если же их счётно, то наибольшего может не существовать. Но если между счётным и континуальным нет мощности (континуум-гипотеза), то это всё равно верно, доказательство аналогично первому пункту. Поэтому если можно доказать, что факт неверен, то найдётся промежуточная, а потому доказуемо опровержение континуум-гипотезы. Но из аксиоматики ZFC это сделать невозможно. Однако из недоказуемости обратного не следует верность данного утверждения, или я что-то путаю?

Также я нашёл в брошюрке, на стр. 25-26, этот факт и более общее утверждение, что множество всех подмножеств $\alpha$ не представляется в виде объединения «$\alpha$ штук» множеств мощности меньше $2^\alpha$, но без каких-либо примечаний, как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение19.09.2012, 21:05 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Если вы возьмете счетное число счетных множеств, то их объединение будет счетным множеством — нумерация выписывается легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение19.09.2012, 21:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Joker_vD в сообщении #621183 писал(а):
Если вы возьмете счетное число счетных множеств, то их объединение будет счетным множеством — нумерация выписывается легко.

А если объединяем счётное число несчётных, но менее чем континуальных?

Или Вы континуум-гипотезу привлечь хотите? Так вроде без неё доказать надо!

-- Чт сен 20, 2012 01:05:16 --

se0808 в сообщении #621165 писал(а):
...как это доказать?

Ну а диагональ построить нельзя?

Вот есть у нас семейство $\{ X_a \}_{a \in A}$ подмножеств $\mathcal{P}(A)$, причём $|X_a| < |\mathcal{P}(A)|$ для каждого $a$. Теперь берём... н-да, а что берём? Подумать надо!

-- Чт сен 20, 2012 01:10:44 --

se0808 в сообщении #621165 писал(а):
если континуальное множество разбито на счётное число подмножеств, то среди них есть континуальное.

А вот тут как раз всё просто. Докажите следующую лемму:

Если $A_0$ бесконечно и $|A_n| \leqslant |A_0|$ для всех $n \in \mathbb{N}$, то $|\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n| = |A_0|$.

Из неё сразу следует нужное Вам утверждение. А лемму легко доказать, опираясь на $| \mathbb{N} | \leqslant |A_0| = |A_0^2|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение19.09.2012, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Это следует из теоремы Ю.Кёнига: если $\mathfrak g_t<\mathfrak f_t$ для всех $t\in T$, то $\sum\limits_{t\in T}\mathfrak g_t<\prod\limits_{t\in T}\mathfrak f_t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение20.09.2012, 00:29 


15/04/12
162
del

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение20.09.2012, 05:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
se0808 в сообщении #621165 писал(а):
множество всех подмножеств $\alpha$ не представляется в виде объединения «$\alpha$ штук» множеств мощности меньше $2^\alpha$

Для бесконечного $\alpha$ выполнено $2^\alpha=2^{\alpha^2}=(2^\alpha)^\alpha$. Поэтому можно в качестве множества мощности $2^\alpha$ взять множество $A=Y^X$ всех отображений из множества $X$ мощности $\alpha$ в множество $Y$ мощности $2^\alpha$. Предположим, что дано разбиение $A$ на семейство множеств $\{A_i\}_{i\in X}$, $|A_i|<|Y|$ при $i\in X$. Для любого $i\in X$ через $A_i(i)$ обозначим все значения функций из $A_i$ на элементе $i$. Тогда $|A_i(i)|\leqslant |A_i|<|Y|$. Для каждого элемента $i\in X$ пусть $f(i)$ -- такой элемент множества $Y$, что $f(i)\not\in A_i (i)$ . Получим отображение, $f\colon X\to Y$, т.е. $f\in A$, которое не принадлежит ни одному из множеств $A_i$ (если бы $f\in A_i$, то $f(i)\in A_i(i)$). Следовательно $\{A_i\}_{i\in X}$ не может быть разбиением множества $A$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение20.09.2012, 05:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #621215 писал(а):
А вот тут как раз всё просто.

Подумал с утра и понял, что не настолько просто, увы :-(

А пока суть да дело, спал да принимал душ, Padawan уже всё расписал!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о континууме
Сообщение21.09.2012, 10:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Someone в сообщении #621222 писал(а):
Это следует из теоремы Ю.Кёнига: если $\mathfrak g_t<\mathfrak f_t$ для всех $t\in T$, то $\sum\limits_{t\in T}\mathfrak g_t<\prod\limits_{t\in T}\mathfrak f_t$.

Кстати, эта теорема практически также доказывается, как я описал выше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group