2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение16.09.2012, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Довольно легко найти математическое ожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, равномерно распределённых на отрезке $[0,1]$. Оно равно $\dfrac n{n+1}$.

Нет ли где аналогичной, можно оценочной, формулы для матожидания максимума из $n$ независимых случайных величин, нормально распределённых с одинаковым матожиданием и дисперсией?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение16.09.2012, 19:27 


05/09/12
2587
gris, а вы неплохо умеете выделять из чужих задач отдельные самостоятельные подзадачи - что с аддитивностью работы, что сейчас. Жаль только в теме про кассиров высказывались не настолько по существу, как в теме про работу электростатического поля :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение16.09.2012, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
У Г.Дейвида в "Порядковых статистиках" в параграфе 4.2 есть (к сожалению, непараметрические) оценки сверху для матожидания $n$-й порядковой статистики для симметричных распределений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение16.09.2012, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
_Ivana, Вы правы, но наоборот. Читая темы, я часто задумываюсь о каком-то частном случае и обычно обсуждаю его в той же теме, но иногда боюсь наоффтопить или вообще наговорить глупостей. В теме про работу я чуть не пошёл по ложному пути и решил посоветоваться, ибо толком ни у Яблонского, ни в школьных учебниках ничего не прочитал.
Но в теме с очередями я, по моему, был прав, если оставаться в идеализированных сферично-вакуумных представлениях. Просто я был уверен, что где-то есть готовые формулы для известных распределений, типа справочника Корна. Но увы.

--mS--, спасибо. Кстати, про максимум для равномерно распределённых я прочитал в "приложении" на 127 стр. и подумал, что у Вас есть формула и для нормальных. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение16.09.2012, 21:18 


05/09/12
2587
Найдёте формулы - можем сверить с моделированием при большом количестве покупателей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение19.09.2012, 18:16 


06/12/06
347
gris в сообщении #619690 писал(а):
Довольно легко найти математическое ожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, равномерно распределённых на отрезке $[0,1]$. Оно равно $\dfrac n{n+1}$.

Нет ли где аналогичной, можно оценочной, формулы для матожидания максимума из $n$ независимых случайных величин, нормально распределённых с одинаковым матожиданием и дисперсией?

Матожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, распределённых по одинаковому закону имеет вид
\begin{equation*}
M_n
=
n!
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)
\int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) 
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i)
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{n-1}} f(x_n)
\,\mathop{\mathrm{d{}}}x_n
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i 
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
,
\end{equation*}
где $f(x)$ — плотность вероятности распределения. Пусть $F(x)=\int_{-\infty}^x{f}(\xi)\,\mathop{\mathrm{d{}}}\xi$ — соответствующая функция распределения, тогда имеем
\begin{multline*}
n!
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)
\int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) 
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i)
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{n-1}} f(x_n)
\,\mathop{\mathrm{d{}}}x_n
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i 
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
\\
=
n!
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)
\int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) 
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i)
\dots \int\limits_{-\infty}^{x_{n-2}} f(x_{n-1})F(x_{n-1})
\,\mathop{\mathrm{d{}}}x_{n-1}
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i 
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
\\
\dots
\\
=
n!
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)
\int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) 
\dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}}
 \dfrac{1}{(n-i)!}f(x_i)F^{n-i}(x_i)
\,\mathop{\mathrm{d{}}}x_i 
\dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
\\
\dots
\\
=
n!
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)
\int\limits_{-\infty}^{x_1} \dfrac{1}{(n-2)!}f(x_2)F^{n-2}(x_2) 
\,\mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
\\
=
n
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)F^{n-1}(x_1)
\,\mathop{\mathrm{d{}}} x_1
.
\end{multline*}
Таким образом
\begin{equation*}
M_n
=
n
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
 x f(x)F^{n-1}(x)
\,\mathop{\mathrm{d{}}} x
.
\end{equation*}

Можно убедится, что для равномерного распределения полученная формула дает выражение, приведенное в процитированном сообщении.

Подставив в полученную формулу плотность вероятности и функцию распределения нормального распределения с матожиданием $a$ и дисперсией $\sigma$
\begin{equation*}
f(x)
=
\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} 
\exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-a}{\sigma}\right)^2\right]
,\quad
F(x)
=
\frac{1}{2}
+
\frac{1}{2}
\mathop\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma}\right)
,
\end{equation*}
получим
\begin{equation*}
M_n
=
n
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}
 x
 \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} 
 \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-a}{\sigma}\right)^2\right]
 \left[
  \frac{1}{2}
  +
  \frac{1}{2}
  \mathop\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma}\right)
 \right]^{n-1}
\,\mathop{\mathrm{d{}}} x
.
\end{equation*}
Произведя замену переменных
\begin{equation*}
\dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma}
=
x
,\quad
t
=
\sqrt2\sigma t + a
,\quad
\mathop{\mathrm{d{}}}x
=
\sqrt2\sigma\mathop{\mathrm{d{}}}t
,
\end{equation*}
получим
\begin{multline*}
M_n
=
\dfrac{\sigma n}{\sqrt{2\pi} 2^{n-2}}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 
 t\exp\left(-t^2\right)
 \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1}
\,\mathop{\mathrm{d{}}} t
\\
+
\dfrac{a n}{\sqrt{\pi} 2^{n-1}}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 
 \exp\left(-t^2\right)
 \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1}
\,\mathop{\mathrm{d{}}} t
.
\end{multline*}

Вычисления дают
\begin{equation*}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 
 \exp\left(-t^2\right)
 \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1}
\,\mathop{\mathrm{d{}}} t
=
\left.
 \dfrac{\sqrt\pi}{2} 
 \dfrac{\left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^n}{n} 
\right|_{-\infty}^{+\infty}
=
\dfrac{\sqrt\pi 2^{n-1}}{n}
.
\end{equation*}
Осталось вычислить (или оценить) интеграл
\begin{equation*}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 
 t\exp\left(-t^2\right)
 \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1}
\,\mathop{\mathrm{d{}}} t
.
\end{equation*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение19.09.2012, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Зачем нужны эти преобразования? И без многомерных интегралов всем известно, как выглядит плотность распределения максимума: как $\dfrac{dF^n(x)}{dx}=nf(x)F^{n-1}(x)$, и каким интегралом записать матожидание. Штука, которую "осталось вычислить или оценить" и есть именно та, о которой спрашивалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение20.09.2012, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Я как-то занималась такими средними максимумами. При достаточно больших $n$ лучше использовать асимптотику на основе максимум-устойчивых распределений, у которых средние явно считаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение21.09.2012, 07:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
А точно там есть хотя бы просто сходимость математических ожиданий? Мне казалось, что аппроксимация распределения, да ещё и с такой незавидной скоростью сходимости, как для нормального, не может ничего дать для аппроксимации матожидания. Но дела с этим не имела, не в курсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матожидание максимума нескольких СВ
Сообщение21.09.2012, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Сходимость моментов есть (это не следует прямо из сходимости распределений, а доказано отдельно Пикандсом в 1968). Конкретно в гауссовском случае ошибка убывает медленно, но она сама по себе невелика.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group