2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка погрешности в итерационном процессе
Сообщение12.09.2012, 00:15 


25/11/08
449
Часто итерационный процесс останавливают тогда, когда разность между текущим и предыдущим значением становится меньше какого-то эпсилон.
Например, такой принцип используется при приближенном вычислении интегралов с помощью квадратурных формул используется. В этом случае правило имеет свое обоснование, так как доказывается, что погрешность не превосходит величины $M |I_n - I_{n-1}|$. Константа $M>0$ не известна, но хоть что-то.

При нахождении неподвижной точки для сжимающего отображения также можно найти подобную зависимость, причем с известной константой, если известен коэффициент сжатия.

Какими общими свойствами должен обладать алгоритм, чтобы это правило было применимо?

Сейчас разбираюсь с алгоритмом нахождения собственного вектора диагонализируемой матрицы (оператора).

Пусть $A$ оператор.

Пространство $V$, на котором действует оператор, разбивается в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств $V=V_1+...+V_n$.

Пусть $w_1$ - собственное значение $A$ максимальное по модулю. И пусть ему соответствует подпространство $V_1$.

Пусть $x$ - произвольный вектор. $x = x_1+ x_2+...+x_n$, где $x_i \in V_i$.

Тогда, $\left(\frac{1}{w_1}A\right)^n x = x_1+ \left(\frac{w_2}{w}\right)^n x_2+...+\left(\frac{w_n}{w}\right)^n x_n$

$\left(\frac{1}{w_1}\right) A^n x \rightarrow x_1$ при $n \rightarrow \infty $, так как $\left| \frac{w_i}{w}\right| < 1$.

Ввиду линейности, если $\left(\frac{1}{w_1}\right)A^n x \rightarrow x_1$, то и $A^n x \rightarrow y_1 \in V_1$.

Наверное, можно каждый раз нормировать результат, чтоб не получались слишком большие или маленькие числа.

Можно ли здесь теоретически оценить относительную погрешность через разность текущей и предыдущих значений итерации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности в итерационном процессе
Сообщение12.09.2012, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
ellipse в сообщении #617711 писал(а):
Часто итерационный процесс останавливают тогда, когда разность между текущим и предыдущим значением становится меньше какого-то эпсилон.

ellipse в сообщении #617711 писал(а):
Какими общими свойствами должен обладать алгоритм, чтобы это правило было применимо?

Часто бывает так. Разность между текущим и предыдущим значением вроде небольшая, но зато 1) Впоследствии эта разность может и увеличиться. Это может быть из-за того что текущее значение есть случайная величина ввиду того, что погрешности вычислений имеют случайный характер. 2) Другой случай. Разность не будет увеличиваться, но все равно постоянно куда-то медленно двигаемся. Допустим для линейного процесса хоть все собственные значения матрицы перехода и меньше единицы по модулю, но очень не намного.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group