2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симплициальное разбиение $S$
Сообщение09.09.2012, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Пусть $S=a_0\ldots a_m\subset\mathbb{R}^n$ и $S_k\subset \ldots\subset S_0$- некоторая убывающая последовательность граней $S$. Пусть $\{S_{0i}\}_{i=0}^{l}$ и $\{S_{1j}\}_{j=0}^{s}$- две такие последовательности. Симплексы $b(S_{00})b(S_{01})\ldots b(S_{0l})$ и $b(S_{10})b(S_{11})\ldots b(S_{1s})$, где $b(S_{ij})$- барицентр симплекса $S_{ij}$- определены корректно. Как показать, что если пересечение $S'$ симплексов $b(S_{00})b(S_{01})\ldots b(S_{0l})$ и $b(S_{10})b(S_{11})\ldots b(S_{1s})$- не пусто, то $S'=b(S'_1)\ldots b(S'_v)$, где $S'_v\subset\ldots\subset S'_1$- некоторая убывающая последовательность граней $S$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симплициальное разбиение $S$
Сообщение10.09.2012, 07:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Кажется врубился. Симплексы $b(S_{00})b(S_{01})\ldots b(S_{0l})$ и $b(S_{10})b(S_{11})\ldots b(S_{1s})$ тогда и только тогда, когда $\exists i\exists j:b(S_{0i})=b(S_{1j})$. Рассматриваем пересечение множеств вершин симплексов $b(S_{00})b(S_{01})\ldots b(S_{0l})$ и $b(S_{10})b(S_{11})\ldots b(S_{1s})$ и натягиваем на него симплекс- оно и будет пересечением. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Симплициальное разбиение $S$
Сообщение10.09.2012, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Напишу подробно как рассуждал. Все ли четко?
Положим, что $S_{0l}\subset\ldots \subset S_{00}$ и $S_{1s}\subset\ldots \subset S_{10}$. Пусть $\forall i\forall j b(S_{0i})\ne b(S_{1j})$. Рассматриваю произвольные $x_0\in b(S_{00})b(S_{01})\ldots b(S_{0l})$ и $x_1\in b(S_{10})b(S_{11})\ldots b(S_{1s})$, тогда $x_0=\sum\limits_{t=0}^{l}\lambda_tb(S_{0t})=\sum\limits_{t=0}^{l}\frac{\lambda_{0t}}{n_t+1}\sum\limits_{v=0}^{n_t}a_{0v}$, где $n_l<\ldots <n_0$, аналогично $x_1=\sum\limits_{t=0}^{s}\frac{\lambda_{1t}}{m_t+1}\sum\limits_{v=0}^{m_t}a_{1v}$. $t_0=\sup\limits_{0\le t\le l}\{t|\lambda_{0t}\ne 0\},t_1=\sup\limits_{0\le t\le l}\{t|\lambda_{1t}\ne 0\}$. Т.к. $b(S_{0i})$ и $b(S_{1j})$ попарно различны, то существует вершина $a\in S_{0t}$ симплекса $S$, такая что $a\not\in S_{1t}$, откуда следует, что барицентрические координаты точек $x_0$ и $x_1$- различны. Значит симплексы $S_0=S_{0l}\subset\ldots \subset S_{00}$ и $S_1=S_{1s}\subset\ldots \subset S_{10}$ не пересекаются. Положим, что $S_0\cap S_1\ne\varnothing$. Рассмотрим непустое множество $A=\{b(S)|\exists i\exists j: b(S)=b(S_{0i})=b(S_{1j})\}$. Ясно, что симплекс $S(A)$, натянутый на $A$ принадлежит $S_0\cap S_1$. Положим, что $x\in S_0\cap S_1$, тогда $x=\sum\limits_{t=0}^{l}\frac{\lambda_{0t}}{n_t+1}\sum\limits_{v=0}^{n_t}a_{0v}=\sum\limits_{t=0}^{s}\frac{\lambda_{1t}}{m_t+1}\sum\limits_{v=0}^{m_t}a_{1v}$, опять положим, что $t_0=\sup\limits_{0\le t\le l}\{t|\lambda_{0t}\ne 0\},t_1=\sup\limits_{0\le t\le l}\{t|\lambda_{1t}\ne 0\}$, тогда в силу единственности барицентрических координат получаем, что $x\in S(A)$. Что и доказывает исходное утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group