2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.08.2012, 15:50 


20/04/12
114
пытаюсь решить частный случай уравнения Сильвестера
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_equation
в моем случае это выглядит как
Изображение

Изображение

Изображение

тут предложено 2 метода проверки на существование нетривиального решения
http://math.stackexchange.com/questions/17...vester-equation
математика сложная(по крайней мере для меня)

во-первых нужно проверить эти условия на правильность.
во-вторых хотелось бы по известной матрице $A$ определить(если не всё множество) , то хотя бы несколько вариантов удовлетворяющих этим условиям матрицы $B$.
в-третьих хотелось бы понять как на эти условия действует некоторая погрешность в матрице $B$

тут мои изыскания в программе Mathematica.
проверяю на существование не тривиального решения
через первый критерий
Цитата:
NullSpace[KroneckerProduct[IdentityMatrix[3],A]-KronekerProduct[B,IdentityMatrix[3]]]

выдает {}
матрицы задавал как
Цитата:
A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}
B={{b11,b12,b13},{b21,b22,b23},{b31,b32,b33}}

так же пробовал
Цитата:
A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}
B={{b11,b12,b13},{b21,b22,b23},{b31,b32,1}}


хотелось бы узнать как по матрице A
Цитата:
A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}

можно найти хотя бы 1 матрицу B которая будет удовлетворять вышеописанному условию?

так же пробовал через другое эквивалентное условие.
Цитата:
Resultant[Det[A-x IdentityMatrix[3]],Det[-B-x IdentityMatrix[3]],x] =0

хотя возможно оно выглядит так
Цитата:
Resultant[Det[A-x IdentityMatrix[3]],Det[B-x IdentityMatrix[3]],x]=0

вопрос опять же остается,
хотелось бы узнать как по матрице A
Цитата:
A={{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{0,0,1}}

можно найти хотя бы 1 матрицу B которая будет удовлетворять вышеописанному условию?


на первый взгляд условие через результант выглядит проще, т.к. получается уравнение от 9 неизвестных, но непонятно как его решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение05.09.2012, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
mrgloom_ в сообщении #603469 писал(а):
в моем случае это выглядит как


непонятно что за минусы там... и как второе от третьего отличается

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.09.2012, 09:02 


20/04/12
114
если вы про первые 3 уравнения, то первое уравнение это моё уравнение, а 3 уравнение это общий вид уравнения Сильвестера, возможно за исключением минуса, но можно написать и $B'=-B$
я как бы хотел показать, что моё уравнение это частный случай уравнения Сильвестера.

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.09.2012, 10:30 


02/08/12
142
Вообще, обычно говорят "Уравнения Сильвестра". О них можете прочитать в книге Г.В. Демидова "Матричные уравнения" (2009)! Программа Mathematica вполне нормально реагировала на ваши попытки решать уравнение Сильвестра. В общем следует выбирать невырожденные матрицы A и B.

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.09.2012, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у фундаментальных решений $X$ столбцы являются собственными векторами $A$, а транспонированные строки - собственными векторами $B^{T}$
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.09.2012, 12:18 


20/04/12
114
Vitalius в сообщении #615415 писал(а):
В общем следует выбирать невырожденные матрицы A и B.

А разве у меня вырожденные?


Цитата:
На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у решения столбцы являются собственными векторами , а транспонированные строки - собственными векторами
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

не понял, ну допустим я нашел собственные вектора у $A$ и $B^{T}$ я сразу могу составить матрицу $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: существование решения уравнения Сильвестера и результант.
Сообщение06.09.2012, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
mrgloom_ в сообщении #615455 писал(а):
Цитата:
На stackexchange почти правильно написали насчет собственных значений. Это уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда матрицы имеют общее собственное значение, и у решения столбцы являются собственными векторами , а транспонированные строки - собственными векторами
Для приближенного решения можно попробовать найти самые близкие с.з. и составить матрицу на основе соответствующих им с.в. у Вас матрицы маленькие, так что это должно быть несложно.

не понял, ну допустим я нашел собственные вектора у $A$ и $B^{T}$ я сразу могу составить матрицу $X$?
Фундаментальными решениями будут матрицы вида $a\otimes b^{T}$, где $Aa = \lambda a$, $B^{T}b = \lambda b$. То есть берем собственный вектор $A$, записываем его в столбец, берем с.в. $B^T$, записываем его в первую строку, а дальше заполняем матрицу так, чтобы все строки были пропорциональны.
А общее решение - любая их линейная комбинация.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group