шарик в чашке

[Oleg Zubelevich]

Имеется выпуклая гладкая чашка, но не обязательно симметричная. Скажем

$$z=ax^2+by^2,\quad z\le h,\quad a,b>0.$$

Сила тяжести направлена вниз вдоль оси $z,\quad \overline g=(0,0-g)$.$
На край чашки ставят материальную точку и сталкивают ее вниз с небольшой начальной скоростью. Начальная скорость перпендикулярна краю чашки. Точка проваливается в чашку и скользит по ее поверхности без трения.
Доказать, что рано или поздно точка вылетит вон из чашки.

[scwec]

На обращение Oleg Zubelevich: можно чашку продолжить вверх, чтобы не стеснять себя краями. Тогда нужно будет показать, что на любой траектории, с начальным вектором скорости указанным в условии, найдется точка с нулевой скоростью. Из интеграла энергии тогда будет следовать, что эта точка забралась выше начального положения. (вылетела из чашки). Учитывая, что задача о движении по параболоиду проинтегрирована С.А. Чаплыгиным, ничего больше в голову не приходит, как призвать на помощь это решение. Но наверняка, Вы не это имели в виду. Для олимпиадной задачи это перебор. Интуитивно ясно, что форма чашки может быть и другой, а результат тот же. Но какие тут могут сработать общие соображения? Пока не понял.

[MajorUrsus]

Не устаю поражаться дару Oleg Zubelevich формулировать содержательные задачи без начальных условий.
Уже который день ломаю голову, но действительно так ли важна форма чашки? В принципе можно придумать форму, при которой точка не выскочит, но на ум идут только бесконечные (например вдоль оси y) чашки.
Про решение Чаплыгина не слышал, буду благодарен за ссылку.
Если обратить время вспять, то получится то же движение, но наоборот. И если точка в будущем никогда не выскочит за уровень $h+\delta h$, то и в прошлом она никогда не преодолевала его, что для данной системы интуитивно неприемлимо.
Еще соображение. Пусть траектория непериодична (для периодических утверждение задачи очевидно). Траектория в фазовом пространстве незамкнута. Приходит на ум теорема о вечном возвращении Пуанкаре: незамкнутая траектория должна проходить сколь угодно близко к любой точке эргодической поверхности, в том числе и к тем, которые "на вылет". Но это решение "неолимпиадное".

[Oleg Zubelevich]

Должен извиниться, я не знаю как решать эту задачу и не уверен, что само утверждение верное. Перемудрил с метрикой Якоби.

[scwec]

Привожу ссылку. Чаплыгин С.А. О параболическом маятнике, Собрание сочинений т.1 1948 с.102-109.
(Электронного варианта не попадалось).

[Oleg Zubelevich]

Да это понятно, небось переменные методом Гамильтона-Якоби в каких-нибудь параболических координатах разделились. Интегрируемость это слишком частный метод ИМХО, а хотелось чего-то большего

[hurtsy]

MajorUrsus в сообщении #614375 писал(а):

Не устаю поражаться дару Oleg Zubelevich формулировать содержательные задачи без начальных условий.

Нет прощения Oleg Zubelevich . Мало того, что у него симметричность совпадает с вращением, представьте что $a+b+h<10^{-40}cm$. Каждый эксперимент создает новую Вселенную.(По мотивам А.Д.Линде).Галич просил физиков не спорить. С уважением,