2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что фундаментальнее: ур-ние эйконала или канонические ур.-я?
Сообщение31.08.2012, 08:43 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Как известно дифференциал действия как функции координат и времени есть
$dS(q_i^{2},q_i^{1},t^{2},t^{1}) = p_i^{2}dq_i^{2} - H^{2}dt^{2} - p_i^{1}dq_i^{1} + H^{1}dt^{1}$ (1)
где верхние индексы над $q_i$ относятся к конечному и начальному состоянию механической системы, $t^2$,$t^1$ конечный и начальный момент времени.
Данный дифференциал всегда является полным, а функция действия $S(q_i^2,q_i^1,{t^2},{t^1})$ полностью характеризует механическую систему. Но функцию действия в левой стороне равенства (1) не всегда можно представить как разность эйконала – т.е. общей функции зависящей только от координат и времени на концах интервала. Другими словами данное уравнение
$S(q_i^2,q_i^1,{t^2},{t^1}) = S(q_i^2,{t^2}) - S(q_i^1,{t^1})$ (2)
не всегда выполняется для голономных механических систем.
Это утверждение хорошо согласуется с известным фактом, что общего метода интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби не существует. Поэтому в общем случае произвольной системы координат, выражение
${p_i}d{q_i} - Hdt = \delta S ({q_i},t)$ (3)
является неполным дифференциалом, что и подчёркнуто буквой дельта.
Таким образом, метод Гамильтона-Якоби менее общий чем метод канонических уравнений, поскольку полный интеграл для уравнения эйконала существует не всегда. Есть ли здесь ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что фундаментальнее: ур-ние эйконала или канонические ур.-я?
Сообщение01.09.2012, 13:24 
Аватара пользователя


29/01/09
397
С другой стороны я чего -то здесь не понимаю...Фиксируем начальное положение, тогда из (1) следует
$dS(q_i^{2},t^{2}) = p_i^{2}dq_i^{2} - H^{2}dt^{2}  $
Фиксируем конечное
$dS(q_i^{1},t^{1}) =  - p_i^{1}dq_i^{1} + H^{1}dt^{1}$
Поэтому уравнение (2) должно выполняться.
Но ведь функцию действия в левой стороне равенства (1) не всегда можно представить как разность эйконала... Так всё-таки в уравнении (3) всегда полная производная или не обязательно полная?

-- Сб сен 01, 2012 14:25:32 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Что фундаментальнее: ур-ние эйконала или канонические ур.-я?
Сообщение01.09.2012, 20:08 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Сейчас заинтересовался историей открытия теории Гамильтона-Якоби. Оказывается везде в работах Гамильтона было действие как функция двух наборов координат: начального и конечного положения. А Якоби считал, что использование двух наборов координат только затуманивает суть замечательного открытия Гамильтона.
Но ведь существуют простые голономные механические системы, эйконал которых вообще не вычисляется... Значит получается, что Якоби неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что фундаментальнее: ур-ние эйконала или канонические ур.-я?
Сообщение04.09.2012, 10:26 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Индексы 1 и 2 опустим вниз( чтобы отличить индекс 2 от квадрата величины). В принципе нетрудно показать на простом примере, что (2) верно не всегда.
Действительно, для простоты рассмотрим укороченное действие, предположим, что уравнение (2)
$S({{q}_{2i}},{{q}_{1i}})=S({{q}_{2i}})-S({{q}_{1i}})$ (2)
истинно и найдём функцию «действия» $H(p_{i2},p_{i1})$ в импульсном представлении согласно формуле
$H({{p}_{i1}},{{p}_{i2}})=S({{q}_{i2}},{{q}_{i1}})-{{p}_{i2}}{{q}_{i1}}+{{p}_{i1}}{{q}_{i1}}$ (4)
в которой все координаты выражены через импульсы из формул
${{p}_{i1}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{i1}}}$
${{p}_{i2}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{i2}}}$
Из (2) и (4) следует, что
$H({{p}_{i1}},{{p}_{i2}})=\left( S({{q}_{i2}})-{{p}_{i2}}{{q}_{i2}} \right)-\left( S({{q}_{i1}})-{{p}_{i1}}{{q}_{i1}} \right)=H({{p}_{i2}})-H({{p}_{i1}})$ (5)
То есть если справедливо (2), то «действие» в импульсном представлении тоже должно всегда быть разностью «эйконалов». Однако, если рассматривать движение пучков частиц в аксиальной фокусирующей системе, то функция «действия» $H(p_{i2},p_{i1})$ в импульсном представлении будет равна (вблизи оси симметрии, $\mathbf{n}$-единичный вектор оси симметрии) будет равна

$H(p_{i1},p_{i2})=\operatorname{const}+\alpha {{\mathbf{p}}_{1}}{{\mathbf{p}}_{2}}+\beta {{({{\mathbf{p}}_{1}}\mathbf{n})}^{2}}+\gamma {{({{\mathbf{p}}_{2}}\mathbf{n})}^{2}}$

(ЛЛ, т. 2, глава посвящённая распространению света, тонкие пучки лучей)
Очевидно эта функция не является разностью другой функции, зависящей только от или начальных или конечных импульсов. Это означает, что (5), а значит и (2) в общем случае не выполняются. Есть ли ошибки?

-- Вт сен 04, 2012 11:33:56 --

А если ошибок нет, то как понимать вот это
В. Войтик в сообщении #613332 писал(а):
Фиксируем начальное положение, тогда из (1) следует
$dS(q_{i2},t_{2}) = p_{i2}dq_{i2} - H_{2}dt_{2} $
Фиксируем конечное
$dS(q_{i1},t_{1}) =  - p_{i1}dq_{i1} + H_{1}dt_{1}$
Поэтому уравнение (2) должно выполняться.

:?:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group