2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 14:26 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В Планете радиуса $R$ прорыт сквозной туннель, наиболее глубокая точка которого находится на расстоянии $r_0$ от её центра.
В туннеле без трения может двигаться вагон. Известно, что период свободных колебаний вагона в туннеле не зависит от размаха их колебаний,
вплоть до выхода вагона на поверхность. Плотность Планеты постоянна. Ускорение свободного падения на её поверхности равно $g$.
1. Найти $T_0$ - минимально возможный период колебаний вагона.
2. Определить длину туннеля, если период $T>T_0$.
Замечание: единственное ограничение на форму туннеля - чисто физическое: гладкий, безо всяких углов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 19:49 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Туннель прямолинейный или может быть кривым?

Вроде бы для прямолинейного туннеля период колебаний не зависит ни от чего: ни от размаха колебаний, ни от $r_0$ и равен периоду обращения спутника вокруг планеты на нулевой высоте от ее поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 20:02 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Цитата:
Туннель прямолинейный или может быть кривым?

Туннель рассматривается как линия практически без толщины - это, думаю, понятно.
А относительно её формы повторю: никаких запретов. Кроме чисто математических глюков: нет ни самопересечений, ни изломов, всё гладко, вагон о стенки не бьётся и не отскакивает. То-есть выбирайте форму, какая вам почему-либо понравится.. Единственное жёсткое условие: при любом размахе колебаний относительно наинизшей точки канала, их период $T$ остаётся постоянным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 20:13 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Если прорыть туннель около поверхности планеты в виде дуги циклоиды (вершиной вниз) высоты h (много меньше R), то период колебаний будет
$T=2\pi \sqrt{\frac {h}{g}}$ и может быть сделан сколь угодно малым.
Дугу циклоиды взял потому, что период колебаний не зависит от размаха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 20:31 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я не математик (хоть и преподаю)), но сильно сомневаюсь, что при сравнительно больших размерах кривой - она останется циклоидой. Гравитац. поле ведь не однородное, центральное.
Я выяснил, что множество кривых - бесконечно для любого $T$. Ан таки длины их - одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 21:22 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
dovlato в сообщении #610384 писал(а):
1. Найти $T_0$ - минимально возможный период колебаний вагона.
2. Определить длину туннеля, если период $T>T_0$.

Задача интересная, но я не очень понял условие.
Минимально возможный период равен нулю - вот ответ на первый вопрос. Форма туннеля описана в предыдущем сообщении - хотя согласен, что она немного отличается от циклоиды, но чем меньше период - тем форма кривой ближе к дуге перевернутой циклоиды.
Надо ли понимать второй вопрос так: по туннелю колеблется вагон с периодом T. Найти длину туннеля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 21:36 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, именно так. Только, пожалуйста,не забывайте, что $r_0$ - наименьшее расстояние от некой точки туннеля до центра - задано. И оно может быть любым. То-есть $T_\min$ - функция $r_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение25.08.2012, 22:46 


28/11/11
2884

(Оффтоп)

Я эту задачу, кажется, в Кванте видел. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение26.08.2012, 10:09 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В "Кванте" - вполне может быть.. где-то его уровень. У меня-то эта задача возникла как аллюзия задачи himfizik`a.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение27.08.2012, 20:59 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Теперь понял.
Закон сохранения энергии + условие независимости периода от размаха +требование что туннель выходит на поверхность дают:

длина туннеля:
$l=\frac{T}{\pi}\sqrt{\frac{g}{R}(R^2-r_0^2)}$,

минимальный период:
$T_{\min}=2\pi\sqrt{\frac{R^2-r_0^2}{gR}}$,

минимальная длина туннеля:
$l_{\min}=2\frac{R^2-r_0^2}{R}$.

Красиво. Результат получен, но почти никаких соображений о форме туннеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение27.08.2012, 22:37 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Вы уловили именно физическую суть. Тут поначалу математики немного.
Однако необходимо добавить кое-какие комменты для интересующихся.
1. Физическое соображение: из постоянства периода следует, что при произвольном удалении $s$ от наинизшей точки туннеля изменение потенциальной энергии тела пропорционально квадрату удаления:
$$\Delta U=k\frac{ s^2}{2}$$
2. Потенц. эн. тела относительно центра планеты$$U(R)=\frac{mg}{R_0}\frac{R^2}{2}$$
Отсюда $$\Delta U=\frac{mg}{R_0}\frac{R^2-r_0^2}{2}$$
Приравниваем выражения для изменения пот. энергии $$ks^2=\frac{mg}{R_0}(R^2-r_0^2)$$
Следовательно, можно записать $s^2=a(R^2-r_0^2), \quad a=\operatorname{const}$
$$ak=\frac{mg}{R_0}, \squad \omega^2=k/m=\frac{g}{aR_0},$$
$$\omega^2=\frac{\omega_0^2}a,$$
где $ \omega_0^2=\frac{g}{R_0}$ - квадрат частоты для любого прямолинейного туннеля. Однако он вовсе не обязан быть прямолинейным!
Равенство $s^2=a(R^2-r_0^2)$ - единственное обязательное и достаточное условие для обеспечения постоянства периода колебаний. Из него получаем длину туннеля
$$L=2s=\frac{2T}{T_0}\sqrt{R^2-r_0^2}$$
Хочу подчеркнуть, что единственное условие $s^2=a(R^2-r_0^2)$ допускает траектории самых фантастических форм. С изломами, хотя и без самопересечений.. Например, внешне они могут напоминать след броуновской частицы.
Что же касается минимальных величин периода $T$ и длины туннеля $L$, мне думается, из последнего выражения их получить невозможно. Поначалу мне казалось, что минимум $s$ есть $R_0-r_0$. Но это не так! Потому что в вертикальном колодце $T$ - не константа. Я попробовал найти уравнение плоской траектории (то-есть хотя бы плоской!). Составил ДУ. И вот в ходе его решения пошли довольно тягостные интегралы, хотя и берущиеся. Но я уж не смог себя заставить их домучивать. Хотя, в принципе, именно после интегрирования и можно было бы сказать что-то обоснованное относительно достижимых минимумов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение28.08.2012, 19:28 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Кстати, что касается длины туннеля, то задача его определения легко обобщается на произвольный закон изменения плотности $\rho=\rho(R)$.
Тогда $U(R)=m\varphi(R)$, $\Delta U=m\left(\varphi(R)-\varphi(r_0)\right)$. И далее аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение30.08.2012, 19:37 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Для планеты с однородной плотностью можно получить минимальный период и длину в зависимости от $r_0$.
Имеем
$s^2=\frac{gT^2}{4\pi ^2R}(r^2-r_0^2)$.
При изменении $r$ на $dr$ $s$ изменяется на $ds$, причем $ds\ge dr$.
Поэтому получаем условие
$\frac{rs}{r^2-r_0^2}\ge 1$, которое должно выполняться для любых $r$ от $r_0$ до $R$,
Откуда
$s\ge R(1-(\frac{r_0}{R})^2)$, следовательно
$L_{\min}=2R(1-(\frac{r_0}{R})^2)$,
$T_{\min}=2\pi \sqrt{\frac{R^2-r_0^2}{gR}}$.
Форму кривой туннеля подобрал методом тыка, не решая диффуров. Так как для однородного поля тяжести кривая суть циклоида, то для планеты предположил, что кривая - гипоциклоида. Несложная проверка показала, что именно для гипоциклоиды выполняется соотношение
$s^2=a(r^2-r_0^2)$.
Таким образом для планеты с постоянной плотностью общее решение таково:
проводим плоскость через центр планеты, на плоскости рисуем гипоциклоиду, затем плоскость сворачиваем в конус с вершиной в центре планеты, конус не обязательно круговой, а с произвольной образующей, можно даже складывать плоскость как лист бумаги, лишь бы линия складывания проходила через центр планеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение30.08.2012, 19:55 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Цитата:
Несложная проверка показала, что именно для гипоциклоиды выполняется соотношение
$s^2=a(r^2-r_0^2)$.

Ну что тут скажешь.. против таланта не попрёшь))). Надо ж было догадаться до гипоциклоиды. О которой я, кстати, ничего не знаю: там что - точка на колесе, катящемся внутри по сфере или как?
Завершение с конусом очень изящно смотрится. Между прочим, этот конус вполне может и самопересекаться, то есть представлять собой множество конусов с одной вершиной, и каждый из них соприкасается по образующим хотя бы с одним из остальных. Это правило, очевидно, остаётся верным и вообще для всех решений данной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Туннельные переходы
Сообщение31.08.2012, 10:05 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
dovlato в сообщении #612701 писал(а):
...там что - точка на колесе, катящемся внутри по сфере или как?

Точка обода колеса катящегося по большой окружности сферы радиуса $\ge R$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group