2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 10:51 


08/08/12
10
Привет всем!
Такой вопрос: есть одномерная тепловая задача, решаемая по неявной конечно-разностной схеме.
$\frac{dU} {dt} = a^2 \frac{d^2 U} {dx^2} + L \rho \frac{dm} {dt}$
С левого конца действует постоянное граничное условие первого рода (20 градусов Цельсия), а с правого - тоже граничное условие первого рода, но попеременно то 20 градусов, то 2500. Температура солидуса 1420, ликвидуса 1500. Количество жидкой фазы в интервале плавления/кристаллизации определяется как
$m = \frac{T-T_s} {T_l - T_s}$
Надо с учетом теплоты плавления и кристаллизации определять, какая доля твердой жидкой фазы в данный момент времени находится в каждой точке. Сложность в том, что, например, если выделяется некоторое количество твердой фазы - то выделяется теплота кристаллизации, температуры повышаются, и на следующем шаге во время расчета m получаются неверные значения. Как сделать, чтобы количество фаз на каждом шаге считалось корректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Эта задача с движущейся границей - задача Стефана. Во-первых, гуглите. Во-вторых, что-то есть уже у Тихонова-Самарского. $U$ должно линейно зависеть не от температуры, а от энтальпии (т.е. с учётом энергии фазового перехода). Это - энтальпийный подход к решению задачи. Можно также явно отслеживать границу фазового перехода, и для неё задавать дополнительно граничное условие. Т.о. задача распадётся на две (или три) простых задач теплопроводности. Но это сложней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
мат-ламер в сообщении #607992 писал(а):
$U$ должно линейно зависеть не от температуры, а от энтальпии
Только проблема в том, что диффундирует-то температура, и вторая производная там - от неё. Твёрдая и жидкая фазы при температуре плавления будут лежать рядом спокойно: перепад энтальпии будто бы есть, но она не течёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 17:17 


08/08/12
10
U - это температура. На простые задачи теплопроводности врядли удастся разложить - плавление и кристаллизация протекают в интервале температур. И теплоту плавления/кристаллизации надо учитывать не через теплоемкость - такое условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
E90 в сообщении #608175 писал(а):
И теплоту плавления/кристаллизации надо учитывать не через теплоемкость - такое условие.


Тогда я боюсь Вас запутать. Я кое-что программировал на эту тему, но это было давно и подробностей не помню. Но физический смысл моих расчётов состоял именно в увеличении теплоёмкости в момент фазового перехода. Линейная задача с движущейся границей сводилась к нелинейному параболическому уравнению, в котором наличие фазового перехода уже не волновало.

-- Пн авг 20, 2012 20:45:42 --

Вроде была книга Мейерманова на эту тему, но у меня поисковик её не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 21:24 


08/08/12
10
Я нашел книгу Анварбек Мукатович Мейрманов Задача Стефана, правда не нашел, где её скачать.
Я пытался до этого решать эту задачу таким способом:
1) Смотрим, не попала ли какая-нибудь точка в интервал кристаллизации;
2) Если попала - считаем количество жидкой и твердой фазы в ней;
3) Рассчитываем на основе этого выделившуюся/поглотившуюся теплоту по отношению к предыдущему шагу;
4) Изменяем температуру в данной точке на величину, соответствующую теплоте;
5) Проводим расчет температур для следующего шага по времени (прогонку);
Там появлялось две основные сложности:
1) В процессе, например, плавления при поглощении теплоты плавления температура в точке снижалась, и поэтому на следующем шаге по времени как бы получалось, что количество жидкости снижается, однако это не так. Это решали тем, что во время нагрева не давали количеству жидкости в точке уменьшаться. Однако появлялась другая сложность:
2) Невозможно было точно определить момент, когда материал плавится, а когда кристаллизуется, и когда давать количеству жидкости уменьшаться, а когда нет, поскольку даже во время начала нагрева в некоторых точках продолжается кристаллизация и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я бы сказал, что долю жидкой фазы надо считать не для той температуры, с которой мы подошли к шагу 2, а для той, которая будет в итоге. Две неизвестных величины в точке: доля и температура. Можно записать уравнения, которыми они связаны? можно их решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение20.08.2012, 23:46 


08/08/12
10
ИСН в сообщении #608387 писал(а):
Я бы сказал, что долю жидкой фазы надо считать не для той температуры, с которой мы подошли к шагу 2, а для той, которая будет в итоге. Две неизвестных величины в точке: доля и температура. Можно записать уравнения, которыми они связаны? можно их решить?

Да, я тоже об этом и думал, но, просто, не знаю, как их записать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение22.08.2012, 15:58 


08/08/12
10
В частности, мне не понятно, как вставить ещё одну неизвестную в метод прогонки, чтобы его решить. Оно будет решаться также, как и обычное, или как-то по другому? И как должно выглядеть уравнение, связывающее температуру и фазу, чтобы его можно было использовать в расчёте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тепловая задача с плавлением и кристаллизацией
Сообщение27.08.2012, 21:08 
Заслуженный участник


09/01/06
800
E90, есть книга Самарский, Вабищевич "Вычислительная теплопередача" (http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3120349), в которой целая глава посвящена задаче Стефана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group