2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 10:57 


05/10/10
71
Пусть $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ такая, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$f(xy)=f(x)f(y)$
для любых $x, y$
Найти все функции с таким свойством

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 11:12 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Это известные 1-ое и 4-ое функциональные уравнения Коши. Непрерывные решения для 1-го уравнения Коши:
$f(x)=Ax$, $A$ - произвольная действительная константа.
Для 4-го уравнения:
$f(x)\equiv0,\;f(x)\equiv1,\;f(x)=|x|^A,\,f(x)=x\cdot|x|^{A-1},\;A>0$.
Ну а дальше очевидно.
Также есть еще и разрывные решения Гамеля для 1-го уравнения.
Источник: Нечепуренко М.И. - Итерации вещественных функций и функциональные уравнения, 1997 (стр. 85)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
chessar, да я там глупость написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 11:32 


05/10/10
71
Хотелось бы без свойства непрерывности

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 11:51 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Naf2000 в сообщении #596482 писал(а):
Хотелось бы без свойства непрерывности
Хочется ― перехочется: непрерывность следует из перечисленных свойств. ;-)
(От деталей воздержусь ― чтобы не обломить потенциальных решателей.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Пусть $f\not\equiv 0$, тогда $f(0)=0, f(1)=1, f\left(\frac1{n}\right)=\frac1{n}, n\in\mathbb{Z}$. $f(n)f(n)=nf(n)$ откуда $f(n)=n,n\in\mathbb{Z}$. Имеем $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q},\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$. В силу аддитивности достаточно доказать непрерывность в нуле. Пусть $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}\to 0$, тогда, т.к. $\mathbb{R}$- метризуемое ТВП, существует последовательность $\gamma_n\to\infty$, такая что $\gamma_ny_n\to 0$, значит существует последовательность рациональных чисел $\gamma_n'\to \infty$, такая что $\gamma_n'y_n\to 0$. Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$. Получаем непрерывность. Теперь, т.к. $\mathbb{R}$- хаусдорфово, а $\mathbb{Q}$- всюду плотно в $\mathbb{R}$, то если существует продолжение до непрерывного $\widehat{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то оно единственно. Откуда получаем, что $f(x)=x$. Вроде так :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
xmaister в сообщении #596512 писал(а):
значит существует последовательность рациональных чисел $\gamma_n'\to \infty$, такая что $\gamma_n'y_n\to 0$. Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$.

Покажите, как вытекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 13:36 


05/10/10
71
xmaister в сообщении #596512 писал(а):
Из свойства 2 вытекает, что $f(y_n)\to 0$.
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 15:37 


05/10/10
71
Для $f(x)\equiv 0$ понятно
Для рациональных $f(x)\equiv x $ понятно
Для остальных так годится?
$\forall a>0  \exists b>0 : b^2=a$ Подставим $f(a)=f(b^2)=f^2(b)\geq 0$
$\forall a>0,\forall x\Rightarrow f(x+a)=f(x)+f(a)\geq f(x)$ - возрастающая функция (нестрого)
Пусть $f(x)=x+\delta, \delta>0$ (для $\delta<0$ аналогично)
Тогда возьмем $r \in \mathbb{Q}: x<r<x+\delta$
$x+\delta = f(x) \leq f(r)=r$ - противоречие

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Naf2000, прикольно :-) . А я так и не смог понять, почему же $f$- неубывающая, пока Вы не написали (изначально как-то легкомысленно счел, что $f$- ограничена в некоторой ону). Ну тогда дальше всё понятно, $\{f(\gamma_n'y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$- ограничена.

Идею Вашего решения пока не понял. Почему Вы выбираете именно $f(x)=x+\delta$? Почему, например, в иррациональных точках $f$ не может быть какой-то вообще не понятной? Я не понимаю :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение18.07.2012, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А, кажется таки понял. Не строгое возрастание $f$, которое Вы доказали, доставляет. Выбираем локальную базу $\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, такую что $|f(x)|<n^{-n}, x\in V_n\cap\mathbb{Q}$. Считаем, что в рациональных точках $f$ определили. Рассмотрим $x\in\mathbb{R}$- произвольное и последовательность точек $x_n\in (x+V_n)\cap\mathbb{Q}$, тогда $|f(x)-f(x_n)|=|f(x)-x_n|=|f(x-x_n)|<n^{-n}$, откуда $f(x)=x$ для всех $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение операций сложения и умножения
Сообщение21.07.2012, 03:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Naf2000 в сообщении #596472 писал(а):
Пусть $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ такая, что
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
$f(xy)=f(x)f(y)$
для любых $x, y$
Найти все функции с таким свойством

$f(x) = x$ и $f(x) = 0$, других нет.

Приятная задача, я её часто студентам даю :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group