2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ошибка в книге или мой глюк
Сообщение16.07.2012, 11:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
thought в сообщении #595408 писал(а):
Тогда для любого фиксированного k, $2 \leq k \leq n,$ будет выполнено такое неравенство:
$$
\sum_{(i_1,...,i_k) \in \mathcal{A}_n^k} x_{i_1}...x_{i_k} \leq \prod_{i=1}^{k-1}\left(1 -\frac{i}{n} \right).
$$


Левую часть этого неравенства можно записать как:$$k!\sum x_{i_1}\cdots x_{i_k}$$Где суммирование ведется по всем сочетаниям из $n$ элементов по $k$ (так что можно считать $i_1<\cdots <i_k$).Методом множителей Лагранжа находим,что наибольшее значение этой суммы достигается при $x_1=\cdots =x_k=\frac 1n$ и равно:$$C^k_n\frac {k!}{n^k}=\prod _{i=1}^{k-1}\left (1-\frac in\right )$$
Таким образом исходное неравенство справедливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в книге или мой глюк
Сообщение16.07.2012, 11:58 


14/07/12
23
Так и думал, что зря прицепился за исходное неравенство. Спасибо огромное, mihiv, красивое решение :-) Для доказательства условного экстремума при $x_1=...=x_n= 1/n$ будет СЛАУ с n+1 неизвестными. Там легко закономерность ищется для поиска решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в книге или мой глюк
Сообщение16.07.2012, 12:31 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Да вроде нет особых сложностей,например:$$\frac {\partial F}{\partial x_1}-\frac {\partial F}{\partial x_2}=(x_2-x_1)(\cdots )=0$$ где выражение во вторых скобках положительно($F$-функция Лагранжа).Нужно только будет обосновать,что наибольшее значение не достигается на границе области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в книге или мой глюк
Сообщение16.07.2012, 13:07 


14/07/12
23
Вернее сказать, что значение в скобках неотрицательно. Если рассматривать односвязную область $0<x_i<1$, $i=1,...,n$, то все становится много легче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group