Логика высказываний

[gefest_md]

Таблица 1

$\begin{tabular}{lll} Посылка&Заключение&Название\\ $G$ в $\mathcal{F}$&$\mathcal{F}\vdash G$&Допущение\\ $\mathcal{F}\vdash G$ и $\mathcal{F}\subset\mathcal{F^\prime}$&$\mathcal{F^\prime}\vdash G$&Монотонность\\ $\mathcal{F}\vdash G$&$\mathcal{F}\vdash \neg\neg G$&\text{Двойное отрицание}\quad !\\ $\mathcal{F}\vdash F,\ \mathcal{F}\vdash G$&$\mathcal{F}\vdash(F\wedge G)$&$\wedge-$Введение\\ $\mathcal{F}\vdash(F\wedge G)$&$\mathcal{F}\vdash F$&$\wedge-$Удаление\\ $\mathcal{F}\vdash(F\wedge G)$&$\mathcal{F}\vdash(G\wedge F)$&$\wedge-$Симметрия\\ $\mathcal{F}\vdash F$&$\mathcal{F}\vdash(F\vee G)$&$\vee-$Введение\\ $\mathcal{F}\vdash(F\vee G),\ \mathcal{F}\cup\{F\}\vdash H,\ \mathcal{F}\cup\{G\}\vdash H$&$\mathcal{F}\vdash H$&$\vee-$Удаление\\ $\mathcal{F}\vdash(F\vee G)$&$\mathcal{F}\vdash(G\vee F)$&$\vee-$Симметрия\\ $\mathcal{F}\cup\{F\}\vdash G$&$\mathcal{F}\vdash(F\to G)$&$\to-$Введение\\ $\mathcal{F}\vdash(F\to G),\ \mathcal{F}\vdash F$&$\mathcal{F}\vdash G$&$\to-$Удаление\quad ! \end{tabular} $

Таблица 2

$\begin{tabular}{ll} Правила&Название\\ $\mathcal{F}\vdash(F\vee G)$\text{ если и только если }$\mathcal{F}\vdash\neg(\neg F\wedge\neg G)$&$\vee-$Определение\\ $\mathcal{F}\vdash(F\to G)$\text{ если и только если }$\mathcal{F}\vdash(\neg F\vee G)$&$\to-$Определение\\ $\mathcal{F}\vdash(F\leftrightarrow G)$\text{ если и только если }$\mathcal{F}\vdash(F\to G)$\text{ и }$\mathcal{F}\vdash(G\to F)$&$\leftrightarrow-$Определение \end{tabular} $

Ещё одно правило, proof by cases: Если $\mathcal{F}\cup\{F\}\vdash G$ и $\mathcal{F}\cup\{\neg F\}\vdash G$, то $\mathcal{F}\vdash G$.

Задачи:
1. Вывести правило $\to-$Удаление из остальных правил.
2. Вывести Двойное отрицание из Допущения, Монотонности и proof by cases.

Выводимость $\vee-$Симметрии из остального я уже нашёл (как надо).