Помогите найти предел функции двух переменных

[MaxMelnikov]

Никогда не решал такие примеры. Решал только с одной переменной, и те давались тяжело. Помогите найти предел или же доказать что его не существует:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to \infty}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}

[Brukvalub]

Предела нет. Посмотрите, что будет в точках кривых

\[ y = x \]

и

\[ y = x^2 \]

[MaxMelnikov]

Т.е. найти пределы:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x^2}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$

И если их не существует - значит и не существует и этого предела:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to \infty}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$

Можно поподробнее? С одной переменной просто намного легче

[Someone]

MaxMelnikov в сообщении #199797 писал(а):

Т.е. найти пределы:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x^2}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$

Нет. Вам предлагалось подставить $y=x$ и $y=x^2$ в данную функцию и вычислить пределы двух получившихся функций при $x\to\infty$. Если исходный предел существует, то оба этих предела также будут существовать и будут иметь одинаковые значения (совпадающие с исходным пределом). Если же получатся разные пределы, то исходный предел не существует.

[ASA]

MaxMelnikov писал(а):

$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to x^2}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$

Такая запись вряд ли корректна. По-моему нужно так:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty}}\lim\limits_{\substack{y\to x}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}$
и речь, стало быть, идет о повторном интеграле, а не о двойном.

[Atata379]

Чтобы не создавать новую тему, спрошу в этой давнишней...
Я, как и автор темы тоже "Никогда не решал такие примеры. Решал только с одной переменной".


У меня такой вопрос: как получили $y=x$ и $y=x^2$, которые следует подставлять в исходный предел?

И как называется это правило/теорема:

Someone в сообщении #199801 писал(а):

Если исходный предел существует, то оба этих предела также будут существовать и будут иметь одинаковые значения (совпадающие с исходным пределом). Если же получатся разные пределы, то исходный предел не существует.

?

[Someone]

Atata379 в сообщении #536851 писал(а):

У меня такой вопрос: как получили $y=x$ и $y=x^2$, которые следует подставлять в исходный предел?

Догадались. А чтобы хорошо догадываться, надо иметь большой опыт в вычислении пределов.

Atata379 в сообщении #536851 писал(а):

И как называется это правило/теорема: ...?

Как называется - не знаю, но формулируется так: если предел существует, то каждый его частичный предел тоже существует и имеет то же самое значение. Что нужно понимать под частичным пределом, зависит от вида предела. Обычно это ограничение исходного предела на некоторое (не совсем произвольное) подмножество области определения функции, от которой вычисляется предел.

[Atata379]

Someone, у этих $y=x$ и $y=x^2$ есть какое-нибудь название? Судя по второму сообщению этой темы они называются "точки кривых"... хочу найти о них какую-нибудь информацию. Спасибо за ответ.

[Shtorm]

MaxMelnikov в сообщении #199655 писал(а):

Никогда не решал такие примеры. Решал только с одной переменной, и те давались тяжело. Помогите найти предел или же доказать что его не существует:
$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to \infty}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3}

Соответственно в продолжение темы:

А если нужно найти предел $\lim\limits_{\substack{x\to -\infty\\y\to +\infty}}\frac{x^2y+3x}{x^3+y^3} то нужно рассматривать на луче $y=-x$ ? А какие тогда брать кривые? Тоже $y=x^2$ ? А можно тогда взять $y=-x^3$ ??

[AKM]

Достаточно взять $y=kx,\;k<0,\;x\to{-\infty}$, убедиться, что предел зависит от $k$, т.е. предел зависит от пути, т.е. предела по двум переменным нет.
(Проверять другие возможные пути после этого нет надобности).
Возможно, Вам интереснее другой вариант --- когда предел есть. Как тогда проверить все возможные пути?
Вероятно, надо идти другим путём (в ленинском смысле этой фразы): не проверять какие-то семейства путей, а...

[Shtorm]

AKM в сообщении #594294 писал(а):

Достаточно взять $y=kx,\;k<0,\;x\to{-\infty}$, убедиться, что предел зависит от $k$, т.е. предел зависит от пути, т.е. предела по двум переменным нет.
(Проверять другие возможные пути после этого нет надобности).

Да. Это единственное, что не вызывает сомнений в теме предела двух переменных.

AKM в сообщении #594294 писал(а):

Возможно, Вам интереснее другой вариант --- когда предел есть. Как тогда проверить все возможные пути?
Вероятно, надо идти другим путём (в ленинском смысле этой фразы): не проверять какие-то семейства путей, а...

Посмотреть на график функции двух переменных? Или угадать предел, как кажется где-то ewert советовал?

[kw_artem]

Shtorm в сообщении #594312 писал(а):

Посмотреть на график функции двух переменных?

кажется в этом случае конечный предел на графике изобразится как асимптота-плоскость

[AKM]

Shtorm в сообщении #594312 писал(а):

Посмотреть на график функции двух переменных? Или угадать предел, как кажется где-то ewert советовал?

Я не помню этих задач и соответственно, методов. Зорич приводит 5 примеров, и все на несуществование предела. Демидовича у меня нет, поройтесь сами, если интересно.
"Посмотреть на график" --- конечно, не метод доказательства. После "угадать" тоже должно следовать доказательство.
Оно может быть простым, и "олимпиадным", и, например, основываться на определении:

Someone в сообщении #53265 писал(а):

Давайте посмотрим определение двойного предела:

$\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=l$, если для каждого $\varepsilon>0$ можно найти такое $\delta>0$, что для всех $x$ и $y$, удовлетворяющих условию $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$, выполняется неравенство $|f(x,y)-l|<\varepsilon$.

Для предела в бесконечно удалённой точке определение, видимо, надо адекватно подправить (или или функцию подменить, чтоб тот же предел в нуле считать.).

Полагаю, определения предела в конечной и бесконечной точке должны быть "изоморфны". Соответственно, у функции типа $z=\frac1x$ предела в бесконечности нет, поскольку упомянутая kw_artem "асимптота-плоскость" имеется далеко не на всех путях в бесконечность.

Я всё сказал, что об этом помнится, и что пришло в голову: лично мне неохота развивать старую и имеющуюся в нескольких вариантах тему в архивном разделе. Конкретную задачку, если нашлась, можно порешать в "Помогите решить"

[Shtorm]

AKM в сообщении #594393 писал(а):

Соответственно, у функции типа $z=\frac1x$ предела в бесконечности нет, поскольку упомянутая kw_artem "асимптота-плоскость" имеется далеко не на всех путях в бесконечность.

Касательно того, что она имеется не на всех путях в бесконечность мы достаточно долго мусолили с ИСН в соответствующей теме и почти пришли к выводу о том, что если она есть только в заданном направлении, то она просто - есть! Простая аналогия на плоскости: Функция $y=\ln\arctg(x)$ имеет конечный предел и соответственно горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, но при этом не имеет ни конечного предела, ни соответственно горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$. Следовательно если есть хотя бы в одном направлении значит просто - есть. Значит по аналогии и в пространстве - если есть хотя бы в одном направлении значит просто - есть.

$$\lim\limits_{\substack{x\to \infty\\y\to \infty}}\frac{1}{x}=0$$

AKM в сообщении #594393 писал(а):

Для предела в бесконечно удалённой точке определение, видимо, надо адекватно подправить...

Такое "подправленное определение" есть в Фихтенгольце.

AKM в сообщении #594393 писал(а):

Я всё сказал, что об этом помнится, и что пришло в голову: лично мне неохота развивать старую и имеющуюся в нескольких вариантах тему в архивном разделе. Конкретную задачку, если нашлась, можно порешать в "Помогите решить"

Вот и получается, что определение есть - а конкретной общей методики нет. (Не странно ли?) А спрашивается как решать конкретную задачу - если нет общего метода? Я потому и стал писать в старой теме, поскольку этих тем уже много, а мне же не нужно решать задачку для зачёта или для диссертации. Я просто хочу выработать общую методику. А мне один раз уже закрыли мою тему, мотивировав, что таких тем уже полно и дескать не надо плодить - пишите в уже созданных.

[Munin]

AKM в сообщении #594393 писал(а):

Полагаю, определения предела в конечной и бесконечной точке должны быть "изоморфны". Соответственно, у функции типа $z=\frac1x$ предела в бесконечности нет, поскольку упомянутая kw_artem "асимптота-плоскость" имеется далеко не на всех путях в бесконечность.

О "пределе в бесконечности" здесь и не спрашивается, условия $x\to\infty\wedge y\to\infty$ и $\|(x,y)\|\to\infty,$ очевидно, различны. Думаю, это вы "с устатку".