Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Текущее время: Чт мар 11, 2010 23:13:48
Для набора любых формул следует использовать тег [math]. В противном случае сообщение будет отправлено в карантин.
Видите оффтопик? Жмите Пожаловаться на это сообщение
С Правилами Научного форума можно ознакомиться здесь.
Халявы здесь нет. На нашем форуме не решают задачи за вас.
Нужна подсветка синтаксиса? Есть такая возможность!
Попробуйте новый поиск по математическим формулам.


Часовой пояс: UTC + 3 часа




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 
Автор Сообщение
 Не в сети
 Целые части.
СообщениеВт мар 27, 2007 11:51:32 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Доказать, что
$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{ln2}]-1.$$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 13:00:39 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
Достаточно воспользоваться оценкой:
$$\alpha < e^{\alpha} - 1 < \frac{\alpha}{1-\frac{\alpha}{2}}$$
для
$\alpha = \frac{\ln 2}{n}.$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 13:02:37 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Этого не достаточно.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 14:04:55 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
Дык потому, что исходное утверждение неверно! :wink:

Равенство
$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}]-1$$
нарушается для $n=777451915729368.$

А именно, для $n=777451915729368$ выполняется:
$$\begin{matrix} \frac{2}{2^{1/n}-1} & \approx & 2243252046704766.000000000000000106\\
\frac{2n}{\ln 2} & \approx & 2243252046704766.999999999999999957\end{matrix}$$
и поэтому
$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}] = 2243252046704766.$$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 14:23:01 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Это задача из Mathlinks.
Я так же показал, что оно может быть неверно. Если разложить $\frac{ln2}{2}=[q_0;q_1,q_2,...,q_k,..]$ в непрерывную дробь, и окажется что для некоторого нечётного k неполное частное $q_k\ge 9$, то для $n=P_{2l}, k=2l+1, \frac{P_{2l}}{Q_{2l}}=[q_0;q_1,...,q_{2l}]$ это неверно. Однако, не мог найти контрпример.
Как вы нашли контрпример?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 15:03:36 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
Я искал целое число $m,$ удовлетворяющее неравенству:
$$\frac{2}{2^{1/n}-1} > m-1 > \frac{2n}{\ln 2} - 1$$
или
$$\frac{2^{1/n}+1}{2^{1/n}-1} > m > \frac{2n}{\ln 2}.$$
Так как
$$\frac{e^x+1}{e^x-1} - \frac{2}{x} \leq \frac{1}{6}x,$$
то для $m$ следует ожидать выполнения неравенства:
$$0< m - \frac{2n}{\ln 2} < \frac{\ln 2}{6n}$$
или
$$0< \frac{m}{2n} - \frac{1}{\ln 2} < \frac{\ln 2}{3}\cdot\frac{1}{(2n)^2}.$$
Отсюда с необходимостью следует, что $\frac{m}{2n}$ является подходящей дробью для $\frac{1}{\ln 2}.$ Дальше я просто перебрал несколько первых подходящих дробей для $\frac{1}{\ln 2},$ пока не нашел такую:
$\frac{m}{2n}=\frac{2243252046704767}{1554903831458736},$ которая и дала контрпример.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 22:20:15 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
maxal писал(а):
А именно, для $n=777451915729368$ выполняется:
$$\begin{matrix} \frac{2}{2^{1/n}-1} & \approx & 2243252046704766.000000000000000106\\
\frac{2n}{\ln 2} & \approx & 2243252046704766.999999999999999957\end{matrix}$$
и поэтому
$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}] = 2243252046704766.$$

Пробовал проверять с помощью калькулятора в первом выражении после запятой только 10 нулей выдает, а во втором 2243252046704767, как бы нет опровержения. Вообще то я и до этого пробовал вычисляь неполные частные с помощью калькулятора (встроенного в Windows) и не находил противоречия и потому спросил как ты нашёл.
Или не хватает точности калькулятора или это не опровержение.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 22:35:14 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
В твоем калькуляторе не хватает точности. Воспользуйся PARI/GP:
http://pari.math.u-bordeaux.fr/

Все указанные десятичные знаки верные.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 22:40:48 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
А неполные частные для ln(2)/2 можно вычислить 10-15 членов?
Судя по вычислениям точность калькулятора соответствует максимальной точности long double в Си.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 22:54:25 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
20 первых хватит?

Код:
? c=contfrac(log(2)/2); for(n=1,20,print(contfracpnqn(vecextract(c,2^n-1))[,1]))
[0, 1]~
[1, 2]~
[1, 3]~
[8, 23]~
[9, 26]~
[26, 75]~
[35, 101]~
[61, 176]~
[96, 277]~
[349, 1007]~
[794, 2291]~
[3525, 10171]~
[25469, 73488]~
[130870, 377611]~
[418079, 1206321]~
[2639344, 7615537]~
[10975455, 31668469]~
[13614799, 39284006]~
[24590254, 70952475]~
[111975815, 323093906]~

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 23:08:19 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Как понял нужно как раз следующее после 20 го, т.е. 21-е неполное частное.
В принципе, я хотел убедится, что твоя программа не использует стандартную максимальную точность Си, а имеет более высокую точность, какая например есть в Matematica 5.2.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 23:15:21 
Модератор
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 11/01/06
Сообщения: 3710
По умолчанию у PARI/GP для чисел с плавающей точкой точность 38 значащих цифр, и при желании ее можно увеличить.

Вот следующие 10 (с 21-го по 30-й) подходящих дробей:
Код:
? \p
   realprecision = 38 significant digits
? c=contfrac(log(2)/2); for(n=21,30,print(contfracpnqn(vecextract(c,2^n-1))[,1]))
[136566069, 394046381]~
[248541884, 717140287]~
[6847196937, 19756834130]~
[20790132695, 59987642677]~
[27637329632, 79744476807]~
[48427462327, 139732119484]~
[76064791959, 219476596291]~
[124492254286, 359208715775]~
[574033809103, 1656311459391]~
[698526063389, 2015520175166]~

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеВт мар 27, 2007 23:24:03 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
38 знаков достаточно для этого примера. Калькулятор вроде оперирует с 32 знаками и немного не хватило точности.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 не простая задача
СообщениеПн фев 02, 2009 23:31:00 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Каково максимальное значение a, для которого существует натуральное число n, что выполняется
$$[\frac{an}{\ln a}]=[\frac{a}{\sqrt[n] a -1}].$$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 
СообщениеПт фев 06, 2009 10:14:30 
Заслуженный участник
Годы на форумеГоды на форумеГоды на форумеГоды на форуме
Появился: 09/02/06
Сообщения: 2962
Откуда: Москва
Желающих решать нет. Поэтому, укажу вкратце решение и ответ.
Пусть $f(n,a)=\frac{na}{ln a}>g(n,a)=\frac{a}{\sqrt[n] a -1},c(n,a)=f(n,a)-g(n,a)$.
При a<2, ($a\not =1,a>0$) имеется бесконечно много значений n, когда $[f(n,a)]=[g(n,a)]$ и бесконечно много значений n, когда $[f(n,a]=[g(n,a)]+1$.
Соответственно интерес представляет только $a\ge 2$.
Нетрудно доказать
$c(1,a)<c(2,a)<...c(\infty ,a)=\frac a2$
$c(n,a)'_a>0$, и для всех $a<e$ $f(n,a)'_a<0, g(n,a)'_a<0$.
Обозначим через $x_n$ корень $c(n,x_n)=1$ (из свойств монотонности и непрерывности такой найдётся и $x_n>2$). Тогда $x_1=2.32232...>x_2>x_3>...x_{\infty} =2$.
При $a>\ge x_n$ $[f(n,a)]>[g(n,a)]$. Поэтому если $[f(n,a)]=[g(n,a)],a>2$ то $2<a<x_n$ и
$[f(n,2)]=m+1,m=[f(n,x_n)]$. Максимальное значение а с этим свойством будет, если а алгебраическое число, удовлетворяющее условию $a=x^n, x^n=m(x-1),x>1$.
Первое n когда это выполняется n=8 и максимальное a получается из $a=x^8=22(x-1)\to a_{max}=2,01497$, следующее n=17 при этом уже $x_{17}<a_{max}$, поэтому дальше можно не вычислять.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Часовой пояс: UTC + 3 часа



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения

Найти:

Темы с похожим названием

 Темы   Автор   Ответы 
"Почти целые" числа

в форуме Дискуссионные темы (М)

Droog_Andrey

26

Выделение дробной части в Fortran

в форуме Программирование

Ulrih

1

целые значения выражений с радикалами

в форуме Олимпиадные задачи (М)

ljubarcev

32

Реорганизация математической части форума

в форуме Работа форума

PAV

0

Части графов с экстремальными свойствами.

в форуме Помогите решить / разобраться (М)

Denisska

3

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group