Целые части.

[Руст]

Доказать, что

$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{ln2}]-1.$$

[maxal]

Достаточно воспользоваться оценкой:

$$\alpha < e^{\alpha} - 1 < \frac{\alpha}{1-\frac{\alpha}{2}}$$

для
$\alpha = \frac{\ln 2}{n}.$

[Руст]

Этого не достаточно.

[maxal]

Дык потому, что исходное утверждение неверно!

Равенство

$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}]-1$$

нарушается для $n=777451915729368.$

А именно, для $n=777451915729368$ выполняется:

$$\begin{matrix} \frac{2}{2^{1/n}-1} & \approx & 2243252046704766.000000000000000106\\ \frac{2n}{\ln 2} & \approx & 2243252046704766.999999999999999957\end{matrix}$$

и поэтому

$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}] = 2243252046704766.$$

[Руст]

Это задача из Mathlinks.
Я так же показал, что оно может быть неверно. Если разложить $\frac{ln2}{2}=[q_0;q_1,q_2,...,q_k,..]$ в непрерывную дробь, и окажется что для некоторого нечётного k неполное частное $q_k\ge 9$, то для $n=P_{2l}, k=2l+1, \frac{P_{2l}}{Q_{2l}}=[q_0;q_1,...,q_{2l}]$ это неверно. Однако, не мог найти контрпример.
Как вы нашли контрпример?

[maxal]

Я искал целое число $m,$ удовлетворяющее неравенству:

$$\frac{2}{2^{1/n}-1} > m-1 > \frac{2n}{\ln 2} - 1$$

или

$$\frac{2^{1/n}+1}{2^{1/n}-1} > m > \frac{2n}{\ln 2}.$$

Так как

$$\frac{e^x+1}{e^x-1} - \frac{2}{x} \leq \frac{1}{6}x,$$

то для $m$ следует ожидать выполнения неравенства:

$$0< m - \frac{2n}{\ln 2} < \frac{\ln 2}{6n}$$

или

$$0< \frac{m}{2n} - \frac{1}{\ln 2} < \frac{\ln 2}{3}\cdot\frac{1}{(2n)^2}.$$

Отсюда с необходимостью следует, что $\frac{m}{2n}$ является подходящей дробью для $\frac{1}{\ln 2}.$ Дальше я просто перебрал несколько первых подходящих дробей для $\frac{1}{\ln 2},$ пока не нашел такую:
$\frac{m}{2n}=\frac{2243252046704767}{1554903831458736},$ которая и дала контрпример.

[Руст]

maxal писал(а):

А именно, для $n=777451915729368$ выполняется:

$$\begin{matrix} \frac{2}{2^{1/n}-1} & \approx & 2243252046704766.000000000000000106\\ \frac{2n}{\ln 2} & \approx & 2243252046704766.999999999999999957\end{matrix}$$

и поэтому

$$[\frac{2}{2^{1/n}-1}]=[\frac{2n}{\ln 2}] = 2243252046704766.$$

Пробовал проверять с помощью калькулятора в первом выражении после запятой только 10 нулей выдает, а во втором 2243252046704767, как бы нет опровержения. Вообще то я и до этого пробовал вычисляь неполные частные с помощью калькулятора (встроенного в Windows) и не находил противоречия и потому спросил как ты нашёл.
Или не хватает точности калькулятора или это не опровержение.

[maxal]

В твоем калькуляторе не хватает точности. Воспользуйся PARI/GP:
http://pari.math.u-bordeaux.fr/

Все указанные десятичные знаки верные.

[Руст]

А неполные частные для ln(2)/2 можно вычислить 10-15 членов?
Судя по вычислениям точность калькулятора соответствует максимальной точности long double в Си.

[maxal]

20 первых хватит?

? c=contfrac(log(2)/2); for(n=1,20,print(contfracpnqn(vecextract(c,2^n-1))[,1]))
[0, 1]~
[1, 2]~
[1, 3]~
[8, 23]~
[9, 26]~
[26, 75]~
[35, 101]~
[61, 176]~
[96, 277]~
[349, 1007]~
[794, 2291]~
[3525, 10171]~
[25469, 73488]~
[130870, 377611]~
[418079, 1206321]~
[2639344, 7615537]~
[10975455, 31668469]~
[13614799, 39284006]~
[24590254, 70952475]~
[111975815, 323093906]~

[Руст]

Как понял нужно как раз следующее после 20 го, т.е. 21-е неполное частное.
В принципе, я хотел убедится, что твоя программа не использует стандартную максимальную точность Си, а имеет более высокую точность, какая например есть в Matematica 5.2.

[maxal]

По умолчанию у PARI/GP для чисел с плавающей точкой точность 38 значащих цифр, и при желании ее можно увеличить.

Вот следующие 10 (с 21-го по 30-й) подходящих дробей:

? \p
   realprecision = 38 significant digits
? c=contfrac(log(2)/2); for(n=21,30,print(contfracpnqn(vecextract(c,2^n-1))[,1]))
[136566069, 394046381]~
[248541884, 717140287]~
[6847196937, 19756834130]~
[20790132695, 59987642677]~
[27637329632, 79744476807]~
[48427462327, 139732119484]~
[76064791959, 219476596291]~
[124492254286, 359208715775]~
[574033809103, 1656311459391]~
[698526063389, 2015520175166]~

[Руст]

38 знаков достаточно для этого примера. Калькулятор вроде оперирует с 32 знаками и немного не хватило точности.

[Руст]

Каково максимальное значение a, для которого существует натуральное число n, что выполняется

$$[\frac{an}{\ln a}]=[\frac{a}{\sqrt[n] a -1}].$$

[Руст]

Желающих решать нет. Поэтому, укажу вкратце решение и ответ.
Пусть $f(n,a)=\frac{na}{ln a}>g(n,a)=\frac{a}{\sqrt[n] a -1},c(n,a)=f(n,a)-g(n,a)$.
При a<2, ($a\not =1,a>0$) имеется бесконечно много значений n, когда $[f(n,a)]=[g(n,a)]$ и бесконечно много значений n, когда $[f(n,a]=[g(n,a)]+1$.
Соответственно интерес представляет только $a\ge 2$.
Нетрудно доказать
$c(1,a)<c(2,a)<...c(\infty ,a)=\frac a2$
$c(n,a)'_a>0$, и для всех $a<e$ $f(n,a)'_a<0, g(n,a)'_a<0$.
Обозначим через $x_n$ корень $c(n,x_n)=1$ (из свойств монотонности и непрерывности такой найдётся и $x_n>2$). Тогда $x_1=2.32232...>x_2>x_3>...x_{\infty} =2$.
При $a>\ge x_n$ $[f(n,a)]>[g(n,a)]$. Поэтому если $[f(n,a)]=[g(n,a)],a>2$ то $2<a<x_n$ и
$[f(n,2)]=m+1,m=[f(n,x_n)]$. Максимальное значение а с этим свойством будет, если а алгебраическое число, удовлетворяющее условию $a=x^n, x^n=m(x-1),x>1$.
Первое n когда это выполняется n=8 и максимальное a получается из $a=x^8=22(x-1)\to a_{max}=2,01497$, следующее n=17 при этом уже $x_{17}<a_{max}$, поэтому дальше можно не вычислять.