2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение24.06.2012, 16:17 


23/02/12
3110
vorvalm в сообщении #588408 писал(а):
Когда мы рассматриваем кПСВ$_m$ без 1, то надо иметь в виду,
что в этом случае одиночные ПСВ будут начинаться с $p_{r+1}$
и заканчиваться $m+1,$ т.е. должно соблюдаться равенство $\varphi(m).$
Иначе это будут не ПСВ.

Без 1 берется только первая ПСВ$_m$. Она естественно не является по определению ПСВ. Все последующие ПСВ$_m$ остаются без изменения. Я еще к этому вопросу вернусь, так как следствие 2 еще до конца не доказано. Продолжение будет в следующем сообщении, если нет других вопросов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение24.06.2012, 22:23 


23/02/12
3110
Продолжение.
Для строки индикатора сходимости выполняются свойство.
Если в основании треугольника Гильбрайта находится ограниченная последовательность, состоящая из нескольких интервалов, при этом на каждом интервале строка индикатор сходимости располагается в разных строках треугольника, то строка индикатор сходимости для всей последовательности находится в строке треугольника Гильбрайта с наибольшим номером.
Доказательство. Предположим противное, что строка с индикатором сходимости расположена выше строки с наибольшим номером. Это значит на интервале, где строка сходимости имеет наибольший номер, в строке с меньшим номером имеются разности большие 2. Следовательно, на основании определения, данная строка не является строкой индикатора сходимости. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает свойство.

Из-за больших расстояний между числами, находящимися на интервале 0,5m до 1,5m последовательности nПСВ$_m$:$ …, m-p_{r+1}, m-1, m+1, m+p_{r+1},…$.строка индикатор сходимости на этом интервале расположена ниже строки индикатора сходимости на интервале от 0 до 0,5m в треугольнике Гильбрайта, где важное значение для расположения строки индикатора сходимости является расстояние между числами $1, p_{r+1}$.

Используя доказанное выше свойство строки индикатора сходимости изменим доказательства следствий теоремы 3.

Следствие 1
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВm содержит строку разностей – индикатор сходимости, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m.
Доказательство. На основании свойства строки индикатора сходимости на интервале от 0 до 1,5m (объединение двух интервалов 0, 0,5m и 0,5m, 1,5m) строка индикатор сходимости для всей последовательности находится в строке треугольника Гильбрайта с наибольшим номером, т.е равным номеру строки индикатора сходимости на интервале 0,5m, 1,5m.
По определению nПСВ$_m$ данная последовательность содержит разности в треугольнике Гильбрайта периодически повторяющиеся с периодом m, в том числе и строку индикатор сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m.
В качестве примера на рис.2 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВ$_m$, где m=30=2*3*5, а n=3:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис.2 Треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВ$_{30}$
На рис.2 строка индикатор сходимости выделена жирным шрифтом.

Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее последовательность nПСВ$_m$, будет содержать строку индикатор сходимости, которая расположена также, как в треугольнике Гильбрайта с основанием nПСВ$_m$.
Доказательство.
На основании следствия 1 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВ$_m$ содержит строку разностей – индикатор сходимости, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$.
Как уже говорилось ранее, строка индикатор сходимости в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до 0,5m nПСВ$_m$ расположена выше строки индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$. Важное значение для расположения строки индикатора в треугольнике Гильбрайта сходимости на интервале от 0 до 0,5m nПСВ$_m$ является расстояние между числами $1, p_{r+1} (p_{r+1}-1)$.
Заменим число 1 в основании треугольника Гильбрайта на простое число 2, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-2$. Добавим в основание треугольника простое число 3, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}-3$ и.т.д. Добавим в основание треугольника простое число pr, при этом расстояние уменьшится до $p_{r+1}- p_r$. Естественно, при уменьшении данного расстояния строка индикатор сходимости на интервале от 0 до 0,5m nПСВm не должна опуститься, поэтому номер ее останется меньше, чем на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$. Поэтому положение строки индикатора сходимости для обшей последовательности будет соответствовать расположению строки индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m nПСВ$_m$., а следовательно также, как в nПСВ$_m$ ч.т.д.
В качестве примера на рис.3 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис.3 Треугольник Гильбрайта с основанием: 2, 3, 5 и далее 3ПСВ$_{30}$
Из рис. 3 видно, что строка индикатор сходимости, выделенная жирным шрифтом, не изменила свое расположение (сравни с рис 2).

Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.06.2012, 09:50 


31/12/10
1555
Замечания в основном по форме.
1. Почти в каждой строчке вашего сообщения есть словосочетание "индикатор сходимости".
Это вызывает некоторую неприязнь. Может надо было заменить это на аббревиатуру "ИС"
и стало бы легче.(мне кажется)
2. Заметна некоторая торопливость изложения, т.е. не устранены неточности, описки и т.д.
3. Долго и нудно объясняете, что располагая числа $P(r)=\{2,3,...p_r\}$ между
$(0,p_{r+1})$ вы уменьшаете разности.
4.Если вы рассматриваете ПСВ, то зачем элементы ПСВ называть натуральными числами.
Есть короткое слово - вычет.
На будущее, при использовании LaTeX неудобно совмещать "ПСВ".
Предлагаю исползовать английский перевод -RSD (reduced system of the deductions).
По существу. Вы сравниваете "ИС" несравнимых по числу вычетов интервалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.06.2012, 14:57 


23/02/12
3110
vorvalm в сообщении #588777 писал(а):
Замечания в основном по форме.
1. Почти в каждой строчке вашего сообщения есть словосочетание "индикатор сходимости".
Это вызывает некоторую неприязнь. Может надо было заменить это на аббревиатуру "ИС"
и стало бы легче.(мне кажется)
2. Заметна некоторая торопливость изложения, т.е. не устранены неточности, описки и т.д.
3. Долго и нудно объясняете, что располагая числа $P(r)=\{2,3,...p_r\}$ между
$(0,p_{r+1})$ вы уменьшаете разности.
4.Если вы рассматриваете ПСВ, то зачем элементы ПСВ называть натуральными числами.
Есть короткое слово - вычет.

Спасибо, учту!
Цитата:
По существу. Вы сравниваете "ИС" несравнимых по числу вычетов интервалов.

ИС существует в треугольнике Гильбрайта с любым основанием вида - 3 и далее последовательность нечетных чисел с возможными пропусками, а не только для вычетов ПСВ. Поэтому последовательность чисел в основании можно разбивать на интервалы любой длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.06.2012, 17:47 


31/12/10
1555
vicvolf в сообщении #588883 писал(а):
последовательность чисел в основании можно разбивать на интервалы любой длины.

С вычетами ПСВ это вряд ли возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.06.2012, 20:40 


23/02/12
3110
Как я понял, разговор идет о доказательстве следствия 2?
В первой части доказательства рассматривается последовательность вычетов nПСМ$_m$, для которой справедливо следствие 1, т.е. существует ИС, совпадающая по номеру строки с nПСМ$_m$ на интервале (0.5m, 1,5m). При этом строка ИС естественно существует и на интервале (0, 0,5m) nПСМ$_m$.
Далее я в данное основание на интервале (0, 0,5m) nПСМ$_m$ вставляю дополнительно простые числа между вычетами 1 и $p_{r+1}$, уменьшая расстояние между ними. Естественно ИС на данном интервале не может опуститься, поэтому общая ИС останется без изменения, так как у нее номер больше, равный ИС на интервале (0.5m, 1,5m).
В каком месте неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 07:53 


31/12/10
1555
Смотря что понимать под "интервалом любой длины"...

Какую все-таки роль играет строка ИС в сходимости ТГ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 11:39 


23/02/12
3110
vorvalm в сообщении #589147 писал(а):
Смотря что понимать под "интервалом любой длины"...

В следствии 2 мы рассматриваем два интервала вычетов nПСВ$_m$: (0, 0.5m) и (0.5m, 1.5m).
Цитата:
Какую все-таки роль играет строка ИС в сходимости ТГ ?

Непосредственное. Начиная с этой строки, треугольник Гильбрайта содержит только числа 0 и 2. Соответственно первый элемент строки тоже будет 0 или 2, поэтому треугольник Гильбрайта, начиная с этой строки, сходится.
Например.
3 5 9 11 17 19 25
2 4 2 6 2 6
2 2 4 4 4
0 2 0 0
2 2 0
0 2
2
ИС выделена жирным шрифтом. Ниже только строки с 0 и 2. Но это не значит, что треугольник Гильбрайта расходится в строках выше ИС, так как для сходимости требуется наличие 0 или 2 только в первом элементе строки. Первые элементы 1-ой и 2-ой строки в данном примере содержат числа 2, поэтому треугольник Гильбрайта сходится во всех строках. Если треугольниках Гильбрайта сходится во всех строках, то я просто говорю, что треугольник сходится. Если треугольник Гильбрайта не сходится, хотя бы одной строке (первый элемент в строке больше 2), то я говорю, что треугольник расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 11:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 13:00 


23/02/12
3110
Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):
vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки

Наверно имеется в виду интервал nПСВ$_m$ от 0 до 0,5m, где $m=2*3*...*p_r$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 13:21 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf в сообщении #589245 писал(а):
Наверно имеется в виду интервал nПСВ$_m$ от 0 до 0,5m, где $m=2*3*...*p_r$?
Нет, но исправил опечатку: $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 14:37 


23/02/12
3110
Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):
vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

Нулевая строка из-за симметрии вычетов ПСВ относительно 0,5m начинается еще на интервале от 0 до 0,5m.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 18:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Может я не понял идею... не знаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.06.2012, 22:12 


23/02/12
3110
Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):
а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$

Кстати для больших значений m этот интервал также находится от 0 до 0,5m.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение27.06.2012, 15:11 


23/02/12
3110
Sonic86 в сообщении #589216 писал(а):
vicvolf, если Вы хотите использовать симметрию $\text{ПСВ}_M$ на интервале $[\frac{M}{2};\frac{3M}{2}]$ для обоснования сходимости треугольника Гилбрайта через появление нулевой строки, то получится вряд ли, потому что $M=M_n=p_1...p_n$ растет быстрее экспоненты, а верхний конец интервала $(p_n,p_n^2)$, где $\text{ПСВ}_M$ совпадает с простыми числам, растет всего лишь как $n^2 \ln^2 n$. Для $M=30$ этого просто еще не видно, для $M=210$ и далее - уже видно.

Теперь при доказательстве утверждений используется строка индикатор сходимости (ИС). ИС находится значительно выше нулевой строки. Например, при r=4 (m=2*3*5*7=210) ИС находится в 15 строке разностей треугольника Гильбрайта под строкой первых разностей - 2,10,2,10,2. 15 строка соответствует вычету 67 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=11^2=121$. Таким образом, если треугольник Гильбрайта сходится до числа 67 (с решетом Эратосфена в основании треугольника при r=4), то из-за наличия ИС в15 строке далее он сходится везде.
При r=5 (m=2*3*5*7*11=2310) ИС находится в 9 строке разностей треугольника Гильбрайта, т.е выше чем при m=210, так как находится под строкой первых разностей: 4,12,2,12,4. 9-ая строка соответствует вычету 41 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=13^2=169$. При r=6 (m=2*3*5*7*11*13=30030) ИС находится опять в 15 строке разностей треугольника Гильбрайта, так как находится под строкой первых разностей: 2,16,2,16,2. 15-ая строка соответствует вычету 67 на интервале от 0 до 0,5m, который значительно меньше $p^2_{r+1}=17^2=289$ и.т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group