2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 21:57 


28/11/11
260
1) Исследовать на сходимость ряд

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n\cdot ne^{-nx}}{\sqrt{n^3+1}\cdot e^{-n/x}}$

Переписал его в виде:

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{n/x-nx}=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}$

Наибольший интерес у меня вызвала величина $\frac{n(1-x^2)}{x}$. Рискну предположить, что если она меньше нуля, то ряд сходится абсолютно по Даламберу. Если она равна нулю, значит ряд сходится лишь условно. Прав ли я?

Если так, то решением неравенства $\frac{n(1-x^2)}{x}<0$ будет $x\in(-1 0)\cup(1,+\infty)$, при этом ряд сходится абсолютно по Даламберу.

При $x=\pm 1$ ряд сходится условно по Лейбницу. Верно ли это?

2) Исследовать на РАВНОМЕРНУЮ сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}$ при $x\in[-1;1]$

При $x\in[-1;1]$ оценим сверху

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}\leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$

Начиная с некоторого номера $\dfrac{1}{2^n}\leqslant \dfrac{1}{n^2}$

А ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ сходится равномерно, значит и исходный ряд сходится равномерно.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:08 


28/11/11
260
Мне кажется, что рассуждения не являются верными...(пишу так как нет конкретных вопросов в старт-посте)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У Вас какой цвет глаз по Даламберу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mr.tumkan в сообщении #586152 писал(а):
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}\leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$

Начиная с некоторого номера $\dfrac{1}{2^n}\leqslant \dfrac{1}{n^2}$

Первое -- напрашивается, а вот второе -- уже нелепо. Ну зачем, ну зачем Вам нравятся именно шанхайские барсы?...

mr.tumkan в сообщении #586152 писал(а):
Рискну предположить, что если она меньше нуля, то ряд сходится абсолютно по Даламберу. Если она равна нулю, значит ряд сходится лишь условно. Прав ли я?

Формально -- прав, хотя по существу там чёрт-те сколько чего потеряно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
mr.tumkan в сообщении #586152 писал(а):
А ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ сходится равномерно

Он так сходится равномерно, как моя левая нога дистрибутивна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:37 


28/11/11
260
ИСН в сообщении #586177 писал(а):
У Вас какой цвет глаз по Даламберу?


$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}$

$$\lim\limits_{n\to \infty} \Big|\dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3+1}}\cdot e^{\frac{(n+1)(1-x^2)}{x}}:\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}\Big|=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{(n+1)^3+1}}\cdot e^{\frac{1-x^2}{x}}=e^{\frac{1-x^2}{x}}$$

Значит ряд сходится при $e^{\frac{1-x^2}{x}}<1$

Или, иначе при $\frac{1-x^2}{x}<0$

Так?


Кстати, не при $x=1$ ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n\cdot ne^{-nx}}{\sqrt{n^3+1}\cdot e^{-n/x}}$ чудесным образом превращается в $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n\cdot n}{\sqrt{n^3+1}}$

А этот ряд можно переписать в виде $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1/n^2}}$

А тут уже лейбниц, не?

ewert в сообщении #586180 писал(а):
Формально -- прав, хотя по существу там чёрт-те сколько чего потеряно.


Вы имеете ввиду, что не очень подробно?

-- 17.06.2012, 23:48 --

ИСН в сообщении #586181 писал(а):
mr.tumkan в сообщении #586152 писал(а):
А ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ сходится равномерно

Он так сходится равномерно, как моя левая нога дистрибутивна.


Вы имеете ввиду, что про равномерность лучше говорить, когда ряд функциональный только? А чисто формально можно ведь домножать на $x^{0\cdot n}$ любой числовой ряд?

-- 17.06.2012, 23:49 --

ewert в сообщении #586180 писал(а):
Начиная с некоторого номера $\dfrac{1}{2^n}\leqslant \dfrac{1}{n^2}$

Первое -- напрашивается, а вот второе -- уже нелепо. Ну зачем, ну зачем Вам нравятся именно шанхайские барсы?....[/quote]

Ой, а можно просто сказать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$ сходится по Даламберу, а значит исходный ряд сходится равномерно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение17.06.2012, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В первом сообщении я намекал, что всякий ряд сходится или не сходится не по признаку, а сам по себе. Каким образом Вы это установили - не должно быть частью ответа. Ведь это не часть природы ряда.
Во втором намекал, да, именно на то, что Вы подумали, только в более строгих выражениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 00:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
я бы лучше сказал, что ТС вообще все цитаты перепутал; ну так давайте подождём, пока он с ними распутается; а там, глядишь -- просветление выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 00:25 


28/11/11
260
Ок, постараюсь переписать аккуратно:

1) Исследовать на сходимость ряд

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n\cdot ne^{-nx}}{\sqrt{n^3+1}\cdot e^{-n/x}}$

Перепишем его в виде:

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}$

Проверим - при каких значениях $x$ ряд сходится абсолютно, используем для этого признак Даламбера.

$$\lim\limits_{n\to \infty} \Big|\dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{(n+1)^3+1}}\cdot e^{\frac{(n+1)(1-x^2)}{x}}:\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}\Big|=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{(n+1)^3+1}}\cdot e^{\frac{1-x^2}{x}}=e^{\frac{1-x^2}{x}}$$

Значит ряд сходится при $e^{\frac{1-x^2}{x}}<1$

Или, иначе при $\frac{1-x^2}{x}<0$

Иными словами, при $x\in(-1 0)\cup(1,+\infty)$ ряд сходится абсолютно.

Найдем - при каких $x$ ряд сходится условно, используя признак Лейбница

a) $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}$

Если $\frac{n(1-x^2)}{x}<0$, то все в шоколаде и этот предел равен нулю. Только не знаю -- как это более строго записать.

б) $\dfrac{1}{\sqrt{n^3+1}}\cdot e^{\frac{n(1-x^2)}{x}}>\dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^3+1}}\cdot e^{\frac{(n+1)(1-x^2)}{x}}$

Если $\frac{n(1-x^2)}{x}<0$, то все в шоколаде и это неравенство будет выполняться. Только не знаю -- как это более строго записать.

-- 18.06.2012, 00:29 --

---------------------------------------------------
2) Исследовать на РАВНОМЕРНУЮ сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}$ при $x\in[-1;1]$

При $x\in[-1;1]$ оценим сверху

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}\leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$

Используя признак Даламбера, приходим к выводу, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$ при $x\in[-1;1]$ --- сходится.

Используя признак Сравнения, приходим к выводу, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt{1-x^{2n}}}{2^n}$ при $x\in[-1;1]$ --- сходится. Но почему равномерно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 12:20 


28/11/11
260
ИСН в сообщении #586189 писал(а):
В первом сообщении я намекал, что всякий ряд сходится или не сходится не по признаку, а сам по себе. Каким образом Вы это установили - не должно быть частью ответа. Ведь это не часть природы ряда.
Во втором намекал, да, именно на то, что Вы подумали, только в более строгих выражениях.


Я просто имел ввиду, что "ряд сходится по Даламберу" - означает, что он сходится, чтобы это узнать, мы использовали признак Даламбера. Если ряд сходится по признаку Даламбера - значит он сходится, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да, но это лучше обернуть в те выражения, которые у Вас появились вот теперь.
И ещё.
mr.tumkan в сообщении #586201 писал(а):
ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n}$ при $x\in[-1;1]$ --- сходится
Этот ряд сходится при любых x, хоть 100500. Надо ли пояснять, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 12:39 


28/11/11
260
ИСН в сообщении #586337 писал(а):
Этот ряд сходится при любых x, хоть 100500. Надо ли пояснять, почему?

Это понятно, спасибо.

ИСН в сообщении #586337 писал(а):
Да, но это лучше обернуть в те выражения, которые у Вас появились вот теперь.


Вы имеете ввиду, что верно будет - как в предыдущем сообщении, а да этого, очень криво записано? Смутило "но", значит еще не "обернуто"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
"Используя признак (...), приходим к выводу" - это нормально. А "Ряд сходится по признаку (...)" - плохо.
Функциональный ряд потому сходится равномерно, что он оценивается сходящимся числовым рядом. Если это свойство неизвестно, надо его сперва доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение18.06.2012, 13:33 


28/11/11
260
ИСН в сообщении #586345 писал(а):
"Используя признак (...), приходим к выводу" - это нормально. А "Ряд сходится по признаку (...)" - плохо.
Функциональный ряд потому сходится равномерно, что он оценивается сходящимся числовым рядом. Если это свойство неизвестно, надо его сперва доказать.


Быть может это просто связано с тем, что для любого икса из заданного промежутка можно указать единственный номер $N$ такой, что функциональный ряд не превзойдет сходящийся ряд?

Вы имеете ввиду строгое доказательство на языке эпсилон-дельта?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group