Простейший случай для n =3

[Belfegor]

Уважаемый nnosipov!

А вот этот коммент ясности не прибавил?
Итак решения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$ представляют собой бесконечное множество отрицательных и положительных чисел ($Z - $нечетное, $Y - $четное. При $Z - $четное, $Y - $нечетное - ситуация аналогичная).
Нас интересовала граница перехода отрицательных чисел в положительные, ведь только там могло существовать мифическое значение $ p = 1$.
Определено, что множество положительных чисел отделяет от множества отрицательных чисел непрерывно чередующиеся кривые 1 и 2 типа (с минимальными положительными значениями).

Кривая 1 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\} \\ \end{array} $


Кривая 2 типа определяется следующими значениями $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\} \\ \end{array}$

Для этих кривых минимальное значение $p = 187$ и с увеличением значений $b_1 , c_1$, граничные кривые 1 м 2 типа непрерывно смещаются в области всё больших положительных чисел.

Аналогичные закономерности получаются и для
$9c_1^3 - b_1^3 - 6b_1 c_1 - s = 0(31)$

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #585445 писал(а):

А вот этот коммент ясности не прибавил?

Ни-фи-га. Какой-то бредовый текст. Давайте внятное определение кривой типа 1. О каких именно кривых Вы толкуете?

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585448 писал(а):

Belfegor в сообщении #585445 писал(а):

А вот этот коммент ясности не прибавил?

Ни-фи-га. Какой-то бредовый текст. Давайте внятное определение кривой типа 1. О каких именно кривых Вы толкуете?

Вот это уравнение $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 - p = 0(29)$ а это его частный случай
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1 = 1(28)$, когда $p = 1$.

Рассматриваю всё множество значений $p $.

Выяснилось, что минимальные значения $p $ получаются при чередовании вот таких значений $b_1 , c_1$ :

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\} \\ \end{array}$

Здесь как видно 14 значений p, я их соединил и обозвал кривой 1 типа, и как видно из таблиц уже вторая такая кривая становится убывающая (первая ещё имеет максимум)

Следом идёт такой набор значений $b_1 , c_1$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\} \\ \end{array} $

Здесь как видно 13 значений p, я их соединил и обозвал кривой 2 типа.
Вот так они и чередуются 1 тип, 2 тип, 1 тип, 2 тип. 13 знач, 14 знач., 13 знач., 14 знач...
Минимальное значение p для этих кривых 187. Всё что ниже этих условных кривых - отрицательные значения p, выше этих кривых р значительно больше 1.

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #585463 писал(а):

Здесь как видно 14 значений p, я их соединил и обозвал кривой 1 типа

По-прежнему непонятно, что такое кривая типа 1. Давайте Вы приведёте пример ОДНОЙ КОНКРЕТНОЙ кривой типа 1 (напишите уравнение, которым она задаётся). Их ведь у Вас несколько, этих кривых типа 1?

Belfegor в сообщении #585463 писал(а):

Выяснилось, что минимальные значения $p $ получаются при чередовании вот таких значений $b_1 , c_1$

А здесь о чём речь? Параметр $p$, как я понял, принимает произвольные целые положительные значения. Что такое "минимальные значения $p$"?

Честно говоря, у меня пропадает охота разбираться в этой бессмыслице.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585478 писал(а):

Belfegor в сообщении #585463 писал(а):

Здесь как видно 14 значений p, я их соединил и обозвал кривой 1 типа

По-прежнему непонятно, что такое кривая типа 1. Давайте Вы приведёте пример ОДНОЙ КОНКРЕТНОЙ кривой типа 1 (напишите уравнение, которым она задаётся). Их ведь у Вас несколько, этих кривых типа 1?

Belfegor в сообщении #585463 писал(а):

Выяснилось, что минимальные значения $p $ получаются при чередовании вот таких значений $b_1 , c_1$

А здесь о чём речь? Параметр $p$, как я понял, принимает произвольные целые положительные значения. Что такое "минимальные значения $p$"?

Честно говоря, у меня пропадает охота разбираться в этой бессмыслице.

Да, в общем-то всё просто, только объяснять не умею
Конечно же речь идёт о минимальных положительных значениях p. Мы же доказываем что p никогда не принимает значения 1.

А вот кривая 1 типа (14 значений p расположенных в порядке возрастания значений $b_1 , c_1$) :
16829, 18117, 19165, 19925, 20349, 20389, 19997, 19125, 17725, 15749, 13149, 9877, 5885, 1125.
Полученные из нижеприведенных формул при $n = 0$
$ \begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\} \\ \end{array}$
Я, просто, соединил эти 14 значений линией, обозвал "кривой" 1 типа. И это первая "кривая" 1 типа у неё ещё есть максимум. Все последующие строго убывающие.
Вот вторая "кривая" 1 типа:
153169, 149081, 143937, 137689, 130289, 121689, 111841, 100697, 88209, 74329, 59009, 42201, 23857, 3929.
она получена при $n = 1$

А между этими первой и второй "кривыми" 1 типа, находится первая "кривая" 2 типа (13 значений р):
67943, 67527, 66439, 64631, 62055, 58663, 54407, 49239, 43111, 35975, 27783, 18487, 8039
Эти значения р получены вот отсюда при $n = 0$:

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + r_2 , n \in N, r_2 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\} \\ \end{array}$
а вот вторая "кривая" 2 типа, она идет после второй "кривой" 1 типа. (Я уже писал, что они чередуются: 1 тип(14 значений р), 2 тип(13 значений р), 1 тип(14), 2 тип(13) и.т.д)
267331, 255923, 243027, 228595, 212579, 194931, 175603, 154547, 131715, 107059, 80531, 52083, 21667 (получена при $n = 1$)
Когда "кривые" вперемешку картина постоянного возрастания значений не так очевидна,а когда разделяешь их на 2 типа, видна чёткая тенденция роста.
Вот для первых шести "кривых" 1 типа (в табличном расположении возрастание значений $b_1 , c_1$ идет сверху вниз)

$\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & 4 &\vline & 5 &\vline & 6 \vline & \\ \hline \vline & {{\bf{16829}}} &\vline & {{\bf{153169}}} &\vline & {{\bf{425781}}} &\vline & {{\bf{833849}}} &\vline & {{\bf{1376557}}} &\vline & {{\bf{2053089}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{18117}}} &\vline & {{\rm{149}}0{\rm{81}}} &\vline & {{\rm{4}}0{\rm{59}}0{\rm{1}}} &\vline & {{\rm{787761}}} &\vline & {{\rm{1293845}}} &\vline & {{\rm{1923337}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19165}}} &\vline & {{\rm{143937}}} &\vline & {{\rm{384149}}} &\vline & {{\rm{738985}}} &\vline & {{\rm{12}}0{\rm{7629}}} &\vline & {{\rm{1789265}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19925}}} &\vline & {{\rm{137689}}} &\vline & {{\rm{36}}0{\rm{477}}} &\vline & {{\rm{687473}}} &\vline & {{\rm{1117861}}} &\vline & {{\rm{165}}0{\rm{825}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2}}0{\rm{349}}} &\vline & {{\rm{13}}0{\rm{289}}} &\vline & {{\rm{334837}}} &\vline & {{\rm{633177}}} &\vline & {{\rm{1}}0{\rm{24493}}} &\vline & {{\rm{15}}0{\rm{7969}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2}}0{\rm{389}}} &\vline & {{\rm{121689}}} &\vline & {{\rm{3}}0{\rm{7181}}} &\vline & {{\rm{576}}0{\rm{49}}} &\vline & {{\rm{927477}}} &\vline & {{\rm{136}}0{\rm{649}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19997}}} &\vline & {{\rm{111841}}} &\vline & {{\rm{277461}}} &\vline & {{\rm{516}}0{\rm{41}}} &\vline & {{\rm{826765}}} &\vline & {{\rm{12}}0{\rm{8817}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{19125}}} &\vline & {{\rm{1}}00{\rm{697}}} &\vline & {{\rm{245629}}} &\vline & {{\rm{4531}}0{\rm{5}}} &\vline & {{\rm{7223}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{1}}0{\rm{52425}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{17725}}} &\vline & {{\rm{882}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{211637}}} &\vline & {{\rm{387193}}} &\vline & {{\rm{614}}0{\rm{61}}} &\vline & {{\rm{891425}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{15749}}} &\vline & {{\rm{74329}}} &\vline & {{\rm{175437}}} &\vline & {{\rm{318257}}} &\vline & {{\rm{5}}0{\rm{1973}}} &\vline & {{\rm{725769}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{13149}}} &\vline & {{\rm{59}}00{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{136981}}} &\vline & {{\rm{246249}}} &\vline & {{\rm{385997}}} &\vline & {{\rm{5554}}0{\rm{9}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{9877}}} &\vline & {{\rm{422}}0{\rm{1}}} &\vline & {{\rm{96221}}} &\vline & {{\rm{171121}}} &\vline & {{\rm{266}}0{\rm{85}}} &\vline & {{\rm{38}}0{\rm{297}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{5885}}} &\vline & {{\rm{23857}}} &\vline & {{\rm{531}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{92825}}} &\vline & {{\rm{142189}}} &\vline & {{\rm{2}}00{\rm{385}}} \vline & \\ \hline \vline & {{\bf{1125}}} &\vline & {{\bf{3929}}} &\vline & {{\bf{7597}}} &\vline & {{\bf{11313}}} &\vline & {{\bf{14261}}} &\vline & {{\bf{15625}}} \vline & \\ \hline \end{array} $

[nnosipov]

Вот теперь понятно, что за загадочные кривые имеются в виду. $n$ --- это номер кривой (1-го, либо 2-го типа); видимо, ещё предполагается, что $r_1=2f_1$ и $r_2=2f_2$. Так?

Совершенно непонятно, как рассмотрение этих кривых поможет доказать сформулированное Вами утверждение: минимальное положительное значение выражения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ при всевозможных натуральных $b_1$ и $c_1$ равно $187$. Дело в том, что Вы рассматриваете весьма специальные наборы пар $(b_1,c_1)$, и только для них ищете минимум выражения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$. А нужно рассмотреть вообще все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585555 писал(а):

Вот теперь понятно, что за загадочные кривые имеются в виду. $n$ --- это номер кривой (1-го, либо 2-го типа); видимо, ещё предполагается, что $r_1=2f_1$ и $r_2=2f_2$. Так?

Совершенно непонятно, как рассмотрение этих кривых поможет доказать сформулированное Вами утверждение: минимальное положительное значение выражения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ при всевозможных натуральных $b_1$ и $c_1$ равно $187$. Дело в том, что Вы рассматриваете весьма специальные наборы пар $(b_1,c_1)$, и только для них ищете минимум выражения $c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$. А нужно рассмотреть вообще все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел.

1.Так (про $r_1=2f_1$ и $r_2=2f_2$).
2. n - это множество натуральных чисел. Последовательно подставляем "0" - 1 "кривая" 1 типа, "1"-вторая "кривая" 1 типа, "2" - третья кривая 1 типа и.т.д. Аналогично и для "кривых" 2 типа.
То есть подставили $n = 0$ в

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + r_1 , n \in N, r_1 = \{ 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52\} \\ \end{array} $
Соответственно получили 14 пар значений $(b_1,c_1)$(параметры $f_1$ и $r_1$ подставляем с одних позиций: (0; 0), (2; 4), (4; 8),....(26; 52))
Полученные значения $(b_1,c_1)$ подставляем в
$c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$ и получаем 14 минимальных значений р - первая "кривая" 1 типа итд.

2. Я рассматривал все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел. И в результате и обнаружил эту границу (бесконечную линию из "кривых" 1 и 2 типа) ниже которой значения р - отрицательные, а выше, естественно, только положительные и больше значений р на этих "кривых".

-- Сб июн 16, 2012 00:43:28 --

В данном посте я рассмотрел только $b_1$ - четное , $c_1$ - нечетное, но для $b_1$ - нечетное , $c_1$ - четное - закономерности аналогичные.
Из формул для $b_1$ видно ,что использую весь интервал четных значений, начиная с 24, интервал от 2 до 24 определяется так называемой единственной "кривой" типа "0"(12 значений р), она и содержит минимальное значение $p = 187$. Ещё учитываю начальное условие, что
$c_1 > b_1$

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #585567 писал(а):

Я рассматривал все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел.

Нужно рассмотреть все пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел, для которых значение выражения $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1$ положительно. Вы рассматриваете только пары вида $(b_1,c_1)=(50n+24+f_1,104n+53+2f_1)$, где $f_1 \in \{0,2,4,\dots,26\}$, а $n=0,1,2,\ldots$ А таких пар вообще конечное множество. Это потому, что кривая, заданная уравнением $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=0$, имеет асимптоту, тангенс угла наклона которой равен $3^{2/3}>104/50$.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585646 писал(а):

Belfegor в сообщении #585567 писал(а):

Я рассматривал все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел.

Нужно рассмотреть все пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел, для которых значение выражения $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1$ положительно. Вы рассматриваете только пары вида $(b_1,c_1)=(50n+24+f_1,104n+53+2f_1)$, где $f_1 \in \{0,2,4,\dots,26\}$, а $n=0,1,2,\ldots$ А таких пар вообще конечное множество. Это потому, что кривая, заданная уравнением $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1=0$, имеет асимптоту, тангенс угла наклона которой равен $3^{2/3}>104/50$.

Попробую показать с помощью таблицы, так нагляднее, что я использую все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел.
Итак начну с единственной "кривой" типа "0".
Она состоит из 12 значений $p$. $p = c_1^3 - 3^2 b_1^3 - 6b_1 c_1$
Вот так определяются $(b_1,c_1)$ для кривой типа "0"
$\begin{array}{l} b_1 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ c_1 = 7 + 2f_1 \\ \end{array} $
В виде таблицы с конкретными значениями:

$\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & p &\vline & {b_1 } &\vline & {c_1 } \vline & \\ \hline \vline & {187} &\vline & 2 &\vline & 7 \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{491}}} &\vline & 4 &\vline & {11} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{891}}} &\vline & 6 &\vline & {15} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{1339}}} &\vline & 8 &\vline & {19} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{1787}}} &\vline & {10} &\vline & {23} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2187}}} &\vline & {12} &\vline & {27} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2491}}} &\vline & {14} &\vline & {31} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2651}}} &\vline & {16} &\vline & {35} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2619}}} &\vline & {18} &\vline & {39} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{2347}}} &\vline & {20} &\vline & {43} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{1787}}} &\vline & {22} &\vline & {47} \vline & \\ \hline \vline & {{\rm{891}}} &\vline & {24} &\vline & {51} \vline & \\ \hline \end{array}$

А вот теперь я приведу часть таблицы, в которой я использую все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел, для сочетания $b_1$ - четное,
$c_1$ -нечетное, аналогичные закономерности получаются и для сочетания $b_1$ - нечетное, $c_1$ -четное.

К сожалению возможности здесь ограничены (или может мои), поэтому у меня умещается лишь небольшая часть таблицы, но и фрагмент даёт понятую картину.
Строчки таблицы - это значения $(b_1)$ от 2 и до $\infty $.
Столбцы таблицы это значения $p$, где $c_1=b_1+k$ и
$k=$1, 3, 5... $\infty $
Значение $c_1=b_1+1$ убрал из-за экономии места. Строки обозначил просто четными числами, столбцы нечетными (смысл понятен).
Значения кривой типа "0" взял в скобки, что бы выделить.

$\begin{array}{*{20}c} \hline \vline & * &\vline & 3 &\vline & 5 &\vline & 7 &\vline & 9 &\vline & {11} &\vline & {13} &\vline & {15} &\vline & {17} \vline & \\ \hline \vline & 2 &\vline & { - 7} &\vline & {({\bf{187}})} &\vline & {549} &\vline & {{\rm{1127}}} &\vline & {{\rm{1969}}} &\vline & {{\rm{3123}}} &\vline & {{\rm{4637}}} &\vline & {{\rm{6559}}} \vline & \\ \hline \vline & 4 &\vline & { - {\rm{4}}0{\rm{1}}} &\vline & { - {\rm{63}}} &\vline & {({\bf{491}})} &\vline & {{\rm{13}}0{\rm{9}}} &\vline & {{\rm{2439}}} &\vline & {{\rm{3929}}} &\vline & {{\rm{5827}}} &\vline & {{\rm{8181}}} \vline & \\ \hline \vline & 6 &\vline & { - {\rm{1539}}} &\vline & { - {\rm{1}}00{\rm{9}}} &\vline & { - {\rm{215}}} &\vline & {({\bf{891}})} &\vline & {{\rm{2357}}} &\vline & {{\rm{4231}}} &\vline & {{\rm{6561}}} &\vline & {{\rm{9395}}} \vline & \\ \hline \vline & 8 &\vline & { - {\rm{38}}0{\rm{5}}} &\vline & { - {\rm{3}}0{\rm{35}}} &\vline & { - {\rm{1953}}} &\vline & { - {\rm{511}}} &\vline & {({\bf{1339}})} &\vline & {{\rm{3645}}} &\vline & {{\rm{6455}}} &\vline & {{\rm{9817}}} \vline & \\ \hline \vline & {10} &\vline & { - {\rm{7583}}} &\vline & { - {\rm{6525}}} &\vline & { - {\rm{51}}0{\rm{7}}} &\vline & { - {\rm{3281}}} &\vline & { - {\rm{999}}} &\vline & {({\bf{1787}})} &\vline & {{\rm{5125}}} &\vline & {{\rm{9}}0{\rm{63}}} \vline & \\ \hline \vline & {12} &\vline & { - {\rm{13257}}} &\vline & { - {\rm{11863}}} &\vline & { - {\rm{1}}00{\rm{61}}} &\vline & { - {\rm{78}}0{\rm{3}}} &\vline & { - {\rm{5}}0{\rm{41}}} &\vline & { - {\rm{1727}}} &\vline & {({\bf{2187}})} &\vline & {{\rm{6749}}} \vline & \\ \hline \vline & {14} &\vline & { - {\rm{21211}}} &\vline & { - {\rm{19433}}} &\vline & { - {\rm{17199}}} &\vline & { - {\rm{14461}}} &\vline & { - {\rm{11171}}} &\vline & { - {\rm{7281}}} &\vline & { - {\rm{2743}}} &\vline & {({\bf{2491}})} \vline & \\ \hline \vline & {16} &\vline & { - {\rm{31829}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{23639}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{4}}0{\rm{95}}} \vline & \\ \hline \vline & {18} &\vline & { - {\rm{45495}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{35721}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {20} &\vline & { - {\rm{62593}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{51}}0{\rm{91}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {22} &\vline & { - {\rm{835}}0{\rm{7}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{7}}0{\rm{133}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \vline & \\ \hline \vline & {24} &\vline & { - {\rm{1}}0{\rm{8621}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & { - {\rm{93231}}} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} &\vline & {} \vline & \\ \hline \end{array}$

Чётко видно, что значения $p$ "кривой" "О" и есть минимальные положительные значения $p$ для каждого фиксированного значения $(b_1)$
Например рассмотрим строчку "8" ($b_1=$8):
...-3805, -3035, -1953, -511, (1339), 3645, 6455, 9817...
Идёт последовательный рост значений $p$ и (1339) - значение на кривой "0" является минимальным положительным.
Покажу ещё место перехода "кривой" типа "0" в первую "кривую" 1 типа, дальнейшие переходы "кривых" 1 и 2 типа друг в друга аналогичны.

$ \begin{array}{*{20}c} \hline \vline & * &\vline & {23} &\vline & {25} &\vline & {27} &\vline & {29} &\vline & {31} &\vline & {33} \vline & \\ \hline \vline & {20} &\vline & {({\bf{2347}})} &\vline & {{\rm{13725}}} &\vline & {{\rm{26183}}} &\vline & {{\rm{39769}}} &\vline & {{\rm{54531}}} &\vline & {{\rm{7}}0{\rm{517}}} \vline & \\ \hline \vline & {22} &\vline & { - {\rm{1}}0{\rm{647}}} &\vline & {({\bf{1787}})} &\vline & {{\rm{15349}}} &\vline & {{\rm{3}}00{\rm{87}}} &\vline & {{\rm{46}}0{\rm{49}}} &\vline & {{\rm{63283}}} \vline & \\ \hline \vline & {24} &\vline & { - {\rm{27361}}} &\vline & { - {\rm{13823}}} &\vline & {({\bf{891}})} &\vline & {[{\bf{16829}}]} &\vline & {{\rm{34}}0{\rm{39}}} &\vline & {{\rm{52569}}} \vline & \\ \hline \vline & {26} &\vline & { - {\rm{48179}}} &\vline & { - {\rm{33489}}} &\vline & { - {\rm{17575}}} &\vline & { - {\rm{389}}} &\vline & {[{\bf{18117}}]} &\vline & {{\rm{37991}}} \vline & \\ \hline \vline & {28} &\vline & { - {\rm{73485}}} &\vline & { - {\rm{57595}}} &\vline & { - {\rm{4}}0{\rm{433}}} &\vline & { - {\rm{21951}}} &\vline & { - {\rm{21}}0{\rm{1}}} &\vline & {[{\bf{19165}}]} \vline & \\ \hline \vline & {30} &\vline & { - {\rm{1}}0{\rm{3663}}} &\vline & { - {\rm{86525}}} &\vline & { - {\rm{68}}0{\rm{67}}} &\vline & { - {\rm{48241}}} &\vline & { - {\rm{26999}}} &\vline & { - {\rm{4293}}} \vline & \\ \hline \end{array}$

Три последних значения "кривой" "0" взяты в круглые скобки, три первых значения первой "кривой" 1 типа взяты в квадратные скобки. У последнего значения "кривой" "0" и первого значения "кривой" 1 типа - одинаковое значение $b_1$. Это свойство верно для все переходов "кривых" друг в друга.

Вывод: рассмотрены все пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел, для сочетания $b_1$ - четное,$c_1$ -нечетное.
Определены "кривые" на которых и располагаются минимальные положительные значения $p$. Наименьшее положительное значение $p = 187 > 1$

Вот так определяются "кривые":
1."кривая" типа "0"
$\begin{array}{l} b_1 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ c_1 = 7 + 2f_1 \\ \end{array} $

2. "Кривая" 1 типа.

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + 2f_1 \\ \end{array}$

3. "Кривая" 2 типа.

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + 2f_2 \\ \end{array} $

Изменение значений в этих формулах смещает значения $p$ в отрицательную область или в большую положительную.

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #585766 писал(а):

Вот так определяются "кривые":
1."кривая" типа "0"
$\begin{array}{l} b_1 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ c_1 = 7 + 2f_1 \\ \end{array} $

2. "Кривая" 1 типа.

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + 2f_1 \\ \end{array}$

3. "Кривая" 2 типа.

$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + 2f_2 \\ \end{array} $

Ещё раз уточняю: Вы никаких других пар, кроме этих, не рассматриваете? Если рассматриваете, то укажите эти пары. Таблицы приводить не нужно, вполне достаточно формул.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585788 писал(а):

Ещё раз уточняю: Вы никаких других пар, кроме этих, не рассматриваете? Если рассматриваете, то укажите эти пары. Таблицы приводить не нужно, вполне достаточно формул.

Хорошо, а как вот такой вариант?

Вот это - все пары $(b_1 , c_1)$ образующие все минимальные положительные значения $p$:
1. $\begin{array}{l} b_1 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ c_1 = 7 + 2f_1 \\ \end{array}$

2. $\begin{array}{l} b_1 = 50n + 24 + f_1 , n \in N, f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ c_1 = 104n + 53 + 2f_1 \\ \end{array}$

3. $\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + 2f_2 \\ \end{array}$

А вот это - все остальные пары $(b_1 , c_1)$ образующие все остальные положительные значения $p$:

1.
$\begin{array}{l} (b_1 )_1 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ (c_1 )_1 = 7 + 2f_1 + 2 \\ (b_1 )_2 = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ (c_1 )_2 = 7 + 2f_1 + 4 \\ .......................... \\ (b_1 )_i = 2 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\} \\ (c_1 )_i = 7 + 2f_1 + 2i, i \in N \\ \end{array}$



2.
$\begin{array}{l} (b_1 )_{01} = 24 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{01} = 53 + 2f_1 + 2 \\ ............................ \\ (b_1 )_{0i} = 24 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{0i} = 53 + 2f_1 + 2i, i \in N \\ \\ (b_1 )_{11} = 50 + 24 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{11} = 104 + 53 + 2f_1 + 2 \\ ........................................ \\ (b_1 )_{1i} = 50 + 24 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{1i} = 104 + 53 + 2f_1 + 2i, i \in N \\ ......................................... \\ (b_1 )_{n1} = 50n + 24 + f_1 , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{n1} = 104n + 53 + 2f_1 + 2 \\ .......................................... \\ (b_1 )_{ni} = 50n + 24 + f_1 , n \in Z = \{ 0,1,2,...\} , f_1 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26\} \\ (c_1 )_{ni} = 104n + 53 + 2f_1 + 2i, i \in N \\ \end{array} $


3.
$\begin{array}{l} (b_1 )_{01} = 50 + f_2 , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{01} = 107 + 2f_2 + 2 \\ ............................ \\ (b_1 )_{0i} = 50 + f_2 , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{0i} = 107 + 2f_2 + 2i, i \in N \\ \\ (b_1 )_{11} = 50 + 50 + f_2 , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{11} = 104 + 107 + 2f_2 + 2 \\ ........................................ \\ (b_1 )_{1i} = 50 + 50 + f_2 , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{1i} = 104 + 107 + 2f_2 + 2i, i \in N \\ ......................................... \\ (b_1 )_{n1} = 50n + 50 + f_2 , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{n1} = 104n + 107 + 2f_2 + 2 \\ .......................................... \\ (b_1 )_{ni} = 50n + 50 + f_2 , n \in Z = \{ 0,1,2,...\} , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{ni} = 104n + 107 + 2f_2 + 2i, i \in N \\ \end{array} $

[nnosipov]

Belfegor в сообщении #585841 писал(а):

Хорошо, а как вот такой вариант?

Не доказано, что пары вида $(b_1,c_1)=((b_1)_{ni},(c_1)_{ni})$ при всевозможных значениях $n$ и $i$ не приведут к меньшим значениям выражения $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1$.

[Someone]

Belfegor в сообщении #585766 писал(а):

я использую все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел

Я не понял. При $b_1=1$, $c_1=4$ получается $p=31$.

[Belfegor]

Someone в сообщении #585949 писал(а):

Belfegor в сообщении #585766 писал(а):

я использую все возможные пары $(b_1,c_1)$ натуральных чисел

Я не понял. При $b_1=1$, $c_1=4$ получается $p=31$.

В данном посте я рассматривал $b_1$ -четное, $c_1$ - нечетное, для $b_1$ -нечетное, $c_1$ - четное - закономерность аналогичная, минимальное положительное значение р другое.

[Belfegor]

nnosipov в сообщении #585867 писал(а):

Belfegor в сообщении #585841 писал(а):

Хорошо, а как вот такой вариант?

Не доказано, что пары вида $(b_1,c_1)=((b_1)_{ni},(c_1)_{ni})$ при всевозможных значениях $n$ и $i$ не приведут к меньшим значениям выражения $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1$.

Мне казалось, что это само собой разумеется, но возможно опять подвело косноязычие.
Итак, надо сравнивать точки на этих "кривых" при одинаковом значении $b_1$.
То есть мы рассматриваем для конкретного $b_1$ бесконечное множество значений $p$, полученное при последовательном подставлении в выражение $c_1^3-3^2b_1^3-6b_1c_1$ всех значений
$c_1=$$b_1+1$, $b_1+3$,...$2b_1+1$,...

Поэтому при одинаковых $b_1$ на минимальных "кривых" "0", 1 и 2 типа, значения $c_1$ меньше значений $c_1$ на всех остальных "кривых", сонм которых я привел выше, так как при одинаковых $b_1$ значения $p$ находятся правее на монотонно возрастающей числовой прямой.
Вот например:
вот "минимальная" кривая 2 типа
$\begin{array}{l} b_1 = 50n + 50 + f_2 , n \in N, f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ c_1 = 104n + 107 + 2f_2 \\ \end{array} $

а вот "кривые" со значениями правее

$ \begin{array}{l} (b_1 )_{ni} = 50n + 50 + f_2 , n \in Z = \{ 0,1,2,...\} , f_2 = \{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\} \\ (c_1 )_{ni} = 104n + 107 + 2f_2 + 2i, i \in N \\ \end{array} $

Вот видите довесок $2i$
Вот рядышком поставлю:
$c_1 = 104n + 107 + 2f_2
$(c_1 )_{ni} = 104n + 107 + 2f_2 + 2i$