2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 05:08 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Добрый день. У меня в задаче требуется доказать, что $\mathbb{Z}/ (mn)\mathbb{Z}$ изоморфно $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ только в том случае, когда $m$ и $n$ - взаимно простые. Но вопрос пока даже не в этом.
$\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ - что это за кольцо? Если подумать логически, то это кольцо из $m\cdot n$ элементов, каждый из которых - это сумма по модулю 2 двух каких-либо элементов из $\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$. Тогда как можно сложить классы вычетов по модулю 2? Сложить каждый элемент класса с каждым? Совсем не похоже на правду...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 05:57 


02/04/11
956
farewe11
Это прямая сумма. Определение - в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 06:09 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Да, и правда. вот глупость-то сморозил... :oops:
ну в таком случае каждый элемент нового кольца - это будет сумма двух каких-либо классов вычетов: по модулю $m$ и $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 12:48 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z=\{(x+m\mathbb Z,y+n\mathbb Z)\mid x,y\in\mathbb Z\}$. Это просто прямое произведение двух колец, с такими же операциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 21:05 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Kallikanzarid в сообщении #577893 писал(а):
Это прямая сумма

Joker_vD в сообщении #577960 писал(а):
Это просто прямое произведение

Даже и не знаю, чему верить. :-)

Joker_vD в сообщении #577960 писал(а):
$\mathbb Z/m\mathbb Z\oplus\mathbb Z/n\mathbb Z=\{(x+m\mathbb Z,y+n\mathbb Z)\mid x,y\in\mathbb Z\}$.

А что это за обозначение такое: $m\mathbb Z$, $n\mathbb Z$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 21:08 


02/04/11
956
farewe11

Джокеру :) Правильное обозначение, кстати, - $\times$, а не $\oplus$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_rings

farewe11 в сообщении #578131 писал(а):
А что это за обозначение такое: $m\mathbb Z$, $n\mathbb Z$ ?

$m\mathbb{Z} = \{\ldots, -2m, -m, 0, m, 2m, \ldots\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 22:02 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Kallikanzarid в сообщении #578133 писал(а):
farewe11
Правильное обозначение, кстати, - $\times$, а не $\oplus$.
http://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_rings

Что же, в условии, значит, неправильное обозначение дано? :D ну в общем, считаем, что это наше кольцо состоит из
$\{(x+m\mathbb Z , y+n \mathbb Z ) | \ x,y\in \mathbb Z\}$. Сколько в нём тогда элементов, выходит, содержится? $m\cdot n$. Все верно.
Тогда у нас имеется 2 группы: ${0,1,2,\dots ,m\cdot n}$ и $\{(x+m\mathbb Z , y+n \mathbb Z ) | \ x,y\in \mathbb Z\}$. Доказать требуется, что они изоморфны, только если $m$ взаимно простое с $n$. Надо подумать, но я так предварительно оценил ситуацию.. кажись, если они не будут взаимно просты, то в нашем втором кольце некоторые элементы совпадут, таким образом, кол-во элементов будет неравным.Верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 22:13 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Так вы попробуйте изоморфизм построить. И посмотрите, что из этого получится. Ну и не забывайте, что группа $\mathbb{Z}_{mn}$ циклическая, это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 23:01 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Терминология)

Это очень давняя и нудная история. Есть такое действие: "разложить абелеву группу/кольцо $A$ в прямую сумму подгрупп/идеалов $I,J$". Т.е. показать, что любой элемент $a\in A$ однозначным образом можно записать как сумму $a=b+c$, где $b\in I,\,c\in J$. Если опустить требование однозначности разложения, то получится просто разложение в сумму. Это все дело записывают как $A=I\oplus J$ и $A=I+J$ соответственно.

Все вроде бы ясно, да? Понятно, почему сумма? А теперь фокус: рассмотрим прямое произведение $I\times J$. Построим отображение $f\colon I\times J\to A$, $f(b,c)=b+c$. Тривиально проверяется, что это биективный (за счет "прямоты") гомоморфизм — изоморфизм! То есть $I\times J\cong I\oplus J=A$.

Рассмотрим теперь вообще левые группы/кольца $B,C$, которые по счастливой случайности обладают свойством $B\times C\cong A$. Тогда, если взять этот самый изоморфизм $\varphi\colon B\times C\to A$, то опять же легко проверяется, что $A=\varphi(B)\oplus\varphi(C)$. Ну, этот факт обычно тоже записывают как $A=B\oplus C$.

Теперь главный вопрос: нафиг нам все-таки два термина для (изначально) разных вещей, которые в конце-концов все-таки оказываются одинаковыми? Ответ: они не совсем одинаковы. Можно ведь рассмотреть прямую сумму/произведение не только для двух, а и для трех, четырех, ... бесконечного числа слагаемых/сомножителей. И вот в случае бесконечного числа и проявляется различие.

Говорят, что абелева группа $A$ разлагается в прямую сумму подгрупп $A_i$, $i\in\mathbb N$, если всякий элемент $a\in A$ можно однозначно представить в виде суммы $a=a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots$ ($a_i\in A_i$), где все слагаемые, кроме конечного числа, равны нулю. Это означает, что $\bigoplus\limits_{n=1}^{\infty}A_i \ncong \prod\limits_{n=1}^{\infty}A_i$, потому что в произведении есть элементы вообще без нулевых компонент. Вот и разница. Прямая сумма — это подгруппа/подкольцо прямого произведения, содержащее только элементы с конечным числом ненулевых компонент. В случае, когда прямая сумма/произведение рассматриваются для конечного числа слагаемых/сомножителей, они совпадают. Если для бесконечного — различаются.

Однако маленькое замечание. В теории групп (вообще, не только абелевых) говорят, ясен пень, о разложении в прямое произведение подгрупп и просто прямом произведении групп — там ведь никаких сумм нет, операцию называют не "сложением", а "умножением". В случае бесконечного числа сомножителей говорят тогда о "декартовом произведении" и "прямом произведении" — что соответствует "прямому произведению" и "прямой сумме", которые я только что описал. Такая вот редиска. Если еще учесть, что кое-кто из изучающих абелевые группы вместо "прямая сумма" и "прямое произведение" говорит "прямая сумма" и "декартова сумма"(sic!), то становится несколько грустно... Как я уже сказал, это давняя и нудная история, и появление теории категорий только все усугубило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 23:33 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Изоморфизм очевиден, надо сказать: $f = \{ a \mod{m}, a\mod{n} | \ a\in\mathbb Z _{mn} \}$

-- Ср май 30, 2012 00:41:03 --

Если $m$ и $n$ имеют общий делитель, отличный от 1, то элементы повторятся. $f(0)$ будет равной $f(m)$, если $m<n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение29.05.2012, 23:59 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
farewe11
Это вы показали, что если $(m,n)\ne1$, то ваша $f$ — не изоморфизм. Ну а вдруг изоморфизм все же есть, только другой? (Подсказка: посмотрите на порядки элементов).

Кстати, а вы уверены, что $f$ — действительно биективный гомоморфизм, если $(m,n)=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм колец.
Сообщение30.05.2012, 00:20 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Joker_vD в сообщении #578198 писал(а):
farewe11
Это вы показали, что если $(m,n)\ne1$, то ваша $f$ — не изоморфизм. Ну а вдруг изоморфизм все же есть, только другой? (Подсказка: посмотрите на порядки элементов).

Кстати, а вы уверены, что $f$ — действительно биективный гомоморфизм, если $(m,n)=1$?

Отвечая на второй вопрос - да, уверен. Операция сохраняется, отображение взаимнооднозначное. В чём подвох? :-)
А на первый вопрос - ... вообще можно начать изворачиваться, мол, не может быть двух совсем разных изоморфизмов для одних и тех же групп, но это как-то не по-правильному. Просто я не знаю, как Вашу подсказку применить. Что у нас там с порядоками элементов? В исходной группе порядки элементов кратны $m\cdot n$..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group