2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение03.03.2007, 22:56 


04/02/07
164
Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 00:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Не пробовали искать решения вида y(t)=C1t+C2?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 02:00 


04/02/07
164
Нет, :D этот зверь так просто не дастся. Это было бы лишь частным случаем при С = D и специфических начальных условиях, для многих же остальных случаев такое решение не подойдет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 08:56 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле так получается однопараметрическое множество решений. Других решений в виде многочленов не существует.
Найти общее решение вряд ли возможно, уравнение ведь нелинейное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение04.03.2007, 10:04 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Bod писал(а):
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.


Можно попытаться написать метод последовательных приближений, основываясь на равенстве
$y(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y(t-ky(s))ds$, где $K(t,s)$~--- матрица Коши уравнения $y''+by'+cy=0$.

Положим $y_0(t)=y_0$, $y_{n+1}(t)=y_0+\int\limits_0^t K(t,s)y_n(t-ky_n(s))ds$. Вдруг сойдется? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 17:31 


04/02/07
164
Решил поискать решение в виде \[
{\sum\limits_{v = 0}^n {a_v  \cdot x^v } }
\], но столкнулся со следующей проблемкой:
что то не соображу как найти формульное выражение для \[
{C_i }
\] исходя из следующей записи:
\[
\left( {\sum\limits_{v = 0}^n {a_v  \cdot x^v } } \right)^k  = \sum\limits_{i = 0}^{n \cdot k} {C_i  \cdot x^i } 
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$$C_m=\sum_{\substack{i_0+i_1+\ldots+i_n=k\\0\cdot i_0+1\cdot i_1+2\cdot i_2+\ldots+n\cdot i_n=m}}\frac{k!}{i_0!i_1!\ldots i_n!}a_0^{i_0}a_1^{i_1}\ldots a_n^{i_n}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 19:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное. Как я указал можно получить некоторые частные решения. Можно ещё найти итерационный процесс в стиле V.V. Можно ещё привести к переменной x=t-y(t) и выразить производные по t через производные по х. Это приведёт к другому нелинейному уравнению без запаздывания.
Нечего другого я больше не могу предложить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2007, 19:35 


04/02/07
164
RIP, спасибо, это я себе примерно так и представлял, но вот как эту сумму занумеровать через последовательный перебор чисел подобно обычной сумме \[
\sum\limits_{i = 0}^n {} 
\], то есть что бы i пробегал ряд вполне известных чисел. Просто в том виде в котором представили вы несколько неудобно осуществлять дальнейшие преобразования.

Добавлено спустя 4 минуты 45 секунд:

Цитата:
Только бесполезно искать в таком виде. Решений в виде многочлена кроме первой степени нет. Раскладывать в ряд по степеням для нелинейного уравнения дело безнадёжное.

Ну почему же может получится не совсем строгое решение но , можно будет получить хотя бы функцию приближенно равную функции решения, а для практического применения этого уже может хватить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2007, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Bod
Упростить это никак нельзя (вернее, я не могу) в силу того, что $a_j$ - это некоторые неизвестные, и если хорошенько присмотреться, то легко увидеть, что в этой сумме нет подобных слагаемых. Единственное, что можно сделать, так это можно записать сумму по-другому: $i_n$ бегает от $0$ до $\min\{k;m/n\}$, $i_{n-1}$ - от $0$ до $\min\{k-i_n;\frac{m-ni_n}{n-1}\}$,..., $i_1=m-ni_n-(n-1)i_{n-1}-\ldots-2i_2$, если $m-ni_n-\ldots-2i_2\leqslant k-i_n-\ldots-i_2$, $i_0=k-i_n-\ldots-i_1$. Только вряд ли это поможет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2007, 19:08 


14/08/06
26
Москва
это так называемые уравнения с self-dependent delay. Скажите спасибо, что запазжывание аргумента от производной не зависит)))))

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение с задержкой аргумента
Сообщение09.03.2007, 19:25 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Bod писал(а):
Подскажите, не видели ли вы где ни будь решение вот такого ДУ:
\[\ddot y(t) + b \cdot \dot y(t) + c \cdot y(t) = d \cdot y(t - k \cdot y(t))\]
Или быть может подскажете с какой стороны можно к такому подступиться.
Заранее благодарен.

Думаю получить аналитическое общее решение невозможно. Соответственно можно решать численно. Но решение задачи Коши возможно только если всё время выполняется неравенство 0<=y(t)<=t/k. Это в свою очередь ограничивает начальные условия y(0)=0,0<=y'(0)<=1/k и b>=0 (система должна быть диссипативной).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group