кое-что о лагранжевой теории удара

[Oleg Zubelevich]

Есть очень красивая работа по теории удара: V. V. Kozlov and D. V. Treshchev, BILLIARDS: A Genetic Introduction to the Dynamics of Systems with Impacts. Translations of Mathematical Monographs, vol. 89. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.

Я проиллюстрирую идеологию этой работы на совсем простом примере .
Задача одномерна. Вдоль оси $x$ направлен лоток. Координата левого борта лотка $x=0$, координата правого борта лотка $x=a$. В лотке катаются два шара (материальные точки) массами $m_1,m_2$. Шары могут соударяться между собой и биться о борты лотка -- все удары абсолютно упругие. Пусть координаты шаров равны $x_1$ и $x_2$ соответственно. Можно считать, что вся система находится по действием какщй-нибудь силы с гладким потенциалом $V(x_1, x_2)$. (Скажем латок наклонен под углом к горизонту)
В каждый момент времени положению системы соответствует изображающая точка на плоскости $(x_1,x_2)$ причем $0\le x_1\le x_2\le a$. Т.е. движению системы соответствует движение изображающей точки на плоскости внутри треугольника.
Кинетическая энергия системы равна $T=\frac{1}{2}m_1\dot x_1^2+\frac{1}{2}m_2\dot x_2^2.$

Задача: Доказать, что система движется так, что наталкиваясь на стороны треугольника изображающая точка отражается от них по закону "угол падения равен углу отражения" но угол понимается в смысле метрики кинетической энергии. При этом модуль скорости изображающей точки до удара и после одинаков в метрике кинетической энергии.

Если изображающая точка попадает в угол треугольника, что соответствует двойному столкновению, то определить движение после такой катастрофы уже не удается, вообще говоря.