2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение22.02.2007, 18:39 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Пусть функция $G:R^n\to R$ удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных:
$\frac {dG(x_1,...,x_n)}{dx_1} / f_1(x_1) = \ldots = \frac{dG(x_1,...,x_n)}{dx_n} / f_n(x_n)$,
где $f_1,\ldots,f_n$ - некоторые положительные функции.

Требуется доказать, что найдутся такие дифференцируемые функции $H$ и $F_1,\ldots,F_n$, что
$G(x_1,...,x_n) = H(F_1(x_1)+....+F_n(x_n))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных
Сообщение22.02.2007, 20:52 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Mikhail Sokolov писал(а):
Требуется доказать, что найдутся такие дифференцируемые функции H и F_1,...,F_n, что
G(x_1,...,x_n) = H(F_1(x_1)+....+F_n(x_n)).


Подставьте эту формулу в уравнение, и будет Вам счастье.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2007, 00:06 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Да, но ведь требуется найти общее решение системы, а не удостовериться, что эта формула ему удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.02.2007, 00:27 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Mikhail Sokolov писал(а):
Да, но ведь требуется найти общее решение системы, а не удостовериться, что эта формула ему удовлетворяет.


Изначально была формулировка "Требуется доказать, что найдутся..."

А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2007, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
V.V. писал(а):
А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

Извините, а можно поподробнее? Даны функции G, $f_k$, такие, что выполняется система дифуров из условия. Как мне найти $F_k$ и H? Я что-то не догоняю. :?

Пусть, например, $G(x_1,x_2)=e^{x_1x_2}$, $f_1(x_1) = f_2(x_2) \equiv 1$. Видно, что система дифуров выполняется. Делаю замену: $dy_k = f_k(x_k)dx_k = dx_k$, откуда $y_k = x_k + C_k$. Что дальше делать, мне непонятно (здесь решение, конечно, легко находится: $F_k(t) = \ln t$, $H(t)=e^{e^t}$, но как оно следует из Вашего алгоритма)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2007, 13:27 
Заслуженный участник


09/01/06
800
worm2 писал(а):
V.V. писал(а):
А для получения общего решения сделайте замену $f_k(x_k)dx_k=dy_k$.

Извините, а можно поподробнее?


Мы получим систему
$$
\frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_1}=\frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_2}=\dots=\frac{\partial G(y_1,y_2,\dots,y_n)}{\partial y_n}.
$$

Рассмотрим первое равенство. Получаем $G=G(y_1+y_2,y_3,\dots,y_n)$. Потом рассматриваем следующее и т.д. Так и получим, что $G=G(y_1+\dots+y_n)$. А потом вернемся к исходным переменным.

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

worm2 писал(а):
Пусть, например, $G(x_1,x_2)=e^{x_1x_2}$, $f_1(x_1) = f_2(x_2) \equiv 1$. Видно, что система дифуров выполняется.


Не видно.
$\frac{\partial G}{\partial x_1}=x_2e^{x_1x_2}$, $\frac{\partial G}{\partial x_2}=x_1e^{x_1x_2}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.02.2007, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
V.V. писал(а):
Не видно.
$\frac{\partial G}{\partial x_1}=x_2e^{x_1x_2}$, $\frac{\partial G}{\partial x_2}=x_1e^{x_1x_2}$

Ой, наврал. :oops:
Конечно, нужно взять $f_k(x_k) = 1/x_k$. Тогда система выполняется и, действительно, $y_k=F_k(x_k)=\ln x_k$, т.е. находятся правильно...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 15:12 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
V.V., большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2007, 19:39 


16/11/06
2
Уфа
А может можно и так:
Пусть $n$ - зафиксированно, тогда
$\frac{dG(x_1,...,x_n)}{d x_1} / f_1(x_1)=...=\frac{dG(x_1,...,x_n)}{d x_n} / f_n(x_n)=\lambda$ => $dG(x_1,...,x_n) =\lambda f_k(x_k)d x_k$ для всех $k=1...n.$ Сложим все эти выражения, поделим на $n$, получим $dG(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n~\frac{\lambda}{n}f_k(x_k) d x_k$, интегрируем, получим $G(x_1,...,x_n)=\sum_{i=1}^n\int \frac{\lambda}{n}f_k(x_k)dx_k+...+C,~F_k(x_k)=\int \frac{\lambda}{n}f_k(x_k)dx_k$, а сумма от них плюс С - искомая H.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2007, 23:40 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Да, но лямбда не обязана быть константой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2007, 08:02 


16/11/06
2
Уфа
:roll:
наврал...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group