2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 21:49 


13/05/12
5
Всем доброго времени суток! Суть вопроса : в учебниках курса алгебры существует утверждение "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение $\sqrt{(x+2)}=-3$ не имеет решений— его левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях х. " Получается, арифметическое значение - значение корня всегда положительно и уравнения вида $\sqrt{x}=-3$ не имеют корней. Есть ли какое-нибудь доказательство этому, опущенное, не приведенное в учебнике? И почему нельзя возводить обе части такого уравнения в квадрат? Тогда получится справедливое утверждение, что x=9, ведь
$(\sqrt{x})^2={(-3)}^2$ ? Но это считается ошибкой. Хотя ведь иррациональные уравнения таким образом и сводят к рациональным с "лишними" корнями. На одном портале смотрел видео-уроки алгебры и там преподаватель заметил, что возводить в квадрат мы можем только в том случае, если у нас положительны обе части. Но в иррациональных уравнениях мы возводим в квадрат, не зная, имеют ли части одинаковый знак. Почему в таком случае, так утверждалось, что возводить нужно положительные части, а не с разными знаками? Не могу найти нигде четкого определения вот этих моментов, после этого видео-урока пересмотрел несколько учебников школьной алгебры разных авторов и разных лет. Помогите, пожалуйста. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 22:18 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
Возьмем верное равенство с положительной правой и левой частью $3=3$. Возведя в квадрат его получим верное равенство $3=3$.
Теперь возьмем неверное равенство с положительными членами $2=3$, и возведя в квадрат получим неверное равенство $4=9$.
Вроде "все логично" - из верного получаем верное, а из неверного - неверное.
То же самое верно, если обе части отрицательны (этот случай легко переходит в ситуацию с положительными членами, если левую и правую часть умножить на $-1$).

А теперь проеделаем все это на двух примерах с одной положительной, а другой отрицательной частью (которые, конечно, заведомо неверные).
Из неверного $2=-3$ получаем неверное $4=9$.
Из неверного $3=-3$ получаем верное (!) $9=9$.

Вывод - когда возводится в квадрат левая и правая части некоторого уравнения, про знаки которых мы ничего не знаем, то нет никакой гарантии, что мы не получим последнюю ситуацию: верное равество, которое на самом деле соответсвует в исходном уравнении неверному равенству! Такая ситуация называется "лишние корни". Гарантия отсутствия "лишних корней" есть, если только обе части исходного уравнения имеют один знак (для простоты обычно говорят - положительный, потому что так удобно не только для уравнений, но и для неравенств).

Поэтому для решения иррациональных уравнений есть два стандартных подхода, которые, по простому говоря, такие:
1. Возводим в квадрат "не напрягаясь" (т.е. не анализируя знаки правых и левых частей, ОДЗ и т.п.). Но потом делаем проверку и лишние корни отбрасываем. Этот способ обычно быстрее второго, а неудобен, если полученные корни "некрасивые".
2. Возводим в квадрат, сопровождая эти действия анализом ОДЗ, знаков левых и правых частей, получая дополнительные условия на корни в виде неравенств. Полученные корни проверяем на эти условия и оставляем лишь те которые в них подходят. Этот способ обычно труднее, т.к. требует аккуратной работы с неравенствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 22:46 


13/05/12
5
AlexValk
Большое спасибо за развернутый ответ! Но остается все же неясным момент с корнями уравнений вида $\sqrt{(x+2)}=-3$ , $\sqrt{x}=-3$ Почему же они не имеют корней, как это обосновать? Вот в это уравнение $\sqrt{x}=-3$ Если x= 9, получается, что в правой части может быть как 3, так и -3? Почему же получается , что корнем тут не может являться никакое число, как утверждается? И это вытекает все из утверждения насчет арифметического корня: "... подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными." как это обосновывается .Почему же тогда в решениях уравнений может быть вида x=± 5 и т.д. Т.е. модуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Потому что "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения". Старшина сказал. Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 22:54 


13/05/12
5
ИСН в сообщении #570492 писал(а):
Потому что "В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения". Старшина сказал. Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения.
И этому вопросу нигде нет никакого обоснования :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение13.05.2012, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Какого обоснования Вы хотите? В Англии люди ездят по левой стороне. В Америке температуру меряют по шкале Фаренгейта. Как это обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 00:39 


29/08/11
1137
dron1987
Что здесь Вы хотите обосновать? Вы же знаете, что корень квадратный мы извлекаем только из положительного числа или нуля. То есть $\sqrt{a}$ мы можем посчитать только если $a \geqslant 0$. Ну а это значит, что квадратный корень, если он извлекается, то всегда положительный или 0. Тогда уравнение вида "корень из числа равно отрицательное число или $\sqrt{a}=-3$" не имеет смысла вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 03:37 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
Keter в сообщении #570536 писал(а):
Вы же знаете, что корень квадратный мы извлекаем только из положительного числа или нуля. ..... То есть $\sqrt{a}$ мы можем посчитать только если $a \geqslant 0$. Ну а это значит, что квадратный корень, если он извлекается, то всегда положительный или 0.

Вы путаете область определения функции и область ее значений. Ни откуда не следует, что если область определения какой-то функции - неотрицательные (или положительные) числа, то и область значений - тоже. Пример: $y=\ln x$.

dron1987
Вопрос о том, что $\sqrt{4}=2$, а не $-2$, или не $\pm 2$, как Вам уже сказал ИСН - это вопрос соглашения, называемого термином "арифметический корень". Поэтому, если Вам очень хочеться, ссылаясь на равенство $(-2)^2=4$ называть $-2$ тоже корнем из 4, то "это можно", но с приставкой "неарифметический". Правда таких неарифметических квадратных корней в школьной программе не существует ("министр запретил") и вас мало кто будет понимать. Ниже я приведу один аргумент разумности такого школьного подхода.

ИСН в сообщении #570519 писал(а):
Какого обоснования Вы хотите? В Англии люди ездят по левой стороне. В Америке температуру меряют по шкале Фаренгейта. Как это обосновать?

А я все же попробую привести некоторое обоснование, которое я когда-то услышал от своего школьного учителя. :-)
Давайте пойдем на поводу у dron1987 и определим $\sqrt{A}$, как "число, квадрат которого равен A". Т.е. включим все варианты в определение корня, $\sqrt{4}=\pm 2=\left\{-2;2\right\}$.
Чему тогда будет равна сумма $\sqrt{4}+\sqrt{4}$? Логично и здесь перебирать все варианты (коих 4 штуки), что дает $\sqrt{4}+\sqrt{4}=\left\{-2;0;2\right\}$. В тоже время, $2\sqrt{4}=\left\{-4;4\right\}$. В итоге мы прибыли к $2\sqrt{4}\not=\sqrt{4}+\sqrt{4}$.
Вывод: Либо мы примем $\sqrt{4}=\pm 2$, но взамен нам придется отказаться от таких "вкусностей" как безоговорочное свойство $a+a=2a$ и т.п., т.е это будет какая-то совсем другая математика. Либо мы отказываемся от многозначности $\sqrt{4}=\pm 2$, и принимаем $\sqrt{4}=2$, сохраняя привычные нам свойства типа $a+a=2a$. В школьной программе пошли по второму пути, что выглядит достаточно разумно.

Заключительные замечания:
1. С этой точки зрения в школьной программе могли декларировать "левостроннее движение" в виде определения $\sqrt{4}=- 2$. Никаких особых проблем бы не возникло, кроме некоторой непривычности для нас, воспитанных на "правостороннем" (зато было бы оригинально!). (Что в этом пункте подверждает тезис ИСН "Это не вопрос доказательства, это вопрос соглашения." )
2. Без всяких произвольных соглашений проблема корня полностью решается только на более высоком уровне - в теории функций комплексных переменных при введении понятия многозначных функций и римановых поверхностей.
3. В школьной программе много лет есть и более сильные "соглашения", которые приводят уже не просто к вопросам, а к несуразностям. Например школьное ОДЗ показательной функции $y=a^x$, подразумевает $a>0$, $x\in \mathbb{R}$ и даже добавляют $a\not=1$ (для монотонности). Тогда уравнение $x^{1-x}=x^2$ с одной стороны (по ОДЗ) не имеет решений, а с другой стороны каждый может проверить, что в него "как числа" подходят кроме $x=1$ также $x=0$ и $x=-1$. (В таких случаях учитель, наверное, говорит: "они как числа подходят, а мы должны решать как функции"!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 05:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Дело попросту в том, что арифметический корень -- это некоторая однозначная функция, раз уж её можно определить как однозначную. В комплексном случае такой возможности нет (нет естественного способа выделить одну из ветвей), и только поэтому и приходится мириться с многозначностью; противно, досадно, но -- приходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 05:13 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А нас вот в школе как-то странно учили: выражение $x^{1/3}$ имеет смысл лишь при $x \geqslant 0$, а выражение $\sqrt[3]{x}$ - при произвольном $x \in \mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 05:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это здесь уже многократно обсуждалось. В школе при составлении задачек с иррациональностями обычно стараются избегать подобных коллизий -- во избежание недоразумений. Ну а после школы эти нюансы уже никого не интересуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Это соглашение школьного курса математики. Вызванное тем, что иррациональные уравнения нужны в нём не в связи с их особой практической полезностью, а как средство тренировки ума. Гантель. Которую можно не только подымать, но и бросать. Но не положено. От бросания гантелей развития мускулов не будет, а ушибиться можно. Соответственно, если рассматривать только арифметические значения корней, можно накачать мозговую мышцу и не запутать себя. А если рассматривать корень, как многозначную функцию, надо либо вводить в школьный курс много дополнительного и неиспользуемого в школе материала, либо совершенно запутать школьника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 18:05 


13/05/12
5
Большое спасибо за разъяснения всем! Вроде смирился с соглашением)

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональные уравнения, не имеющие корней
Сообщение14.05.2012, 18:11 


29/09/06
4552
Да с чем там мириться?
Договорились число 3.1622776601683793... обозначать как $\sqrt{10}$. Не только короче, но и точно, и с указанием, откуда оно взялось. Число -3.1622776601683793..., если кому-то приспичит, обозначится тогда как $-\sqrt{10}$. Всё просто и естественно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group