fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условное неравенство
Сообщение14.05.2011, 09:46 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Действительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $\frac{a-b}{c^2-ab}+\frac{b-c}{a^2-bc}+\frac{c-a}{b^2-ac}\geq0$. Докажите, что:
$$\frac{a^3-b^3}{c^2-ab}+\frac{b^3-c^3}{a^2-bc}+\frac{c^3-a^3}{b^2-ac}\geq0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство
Сообщение15.05.2011, 23:19 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
Умножаем неравенство на $a^2+b^2+c^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.05.2011, 05:50 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Edward_Tur в сообщении #446267 писал(а):
Умножаем неравенство на $a^2+b^2+c^2$.

Да! :D

 Профиль  
                  
 
 Условное неравенство ІІ
Сообщение29.05.2011, 16:48 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $$\frac{1}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}} \ge 0.$$Докажите, что
$$\frac{a}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{b}{{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{c}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}} \ge 0.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2011, 18:34 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Оба неравенства эквивалентны $(a-b)(a-c)(b-c)>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство ІІ
Сообщение29.05.2011, 19:28 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
$\left(\frac{1}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{1}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}} \right) \times \left( \frac {a}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{b}{{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{c}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a - b} \right)}} \right) =$
$$=\frac{a}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2\left( {b - c} \right)^2}} + \frac{b}{{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)^2\left( {c - a} \right)^2}} + \frac{c}{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2\left( {a - b} \right)^2}}> 0.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2011, 20:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Ваше доказательство технически гораздо проще моего.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение29.05.2011, 21:47 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
arqady в сообщении #451740 писал(а):
Ваше доказательство технически гораздо проще моего.

Просто известное тождество записал как "условное неравенство".

 Профиль  
                  
 
 Условное неравенство III
Сообщение12.05.2012, 15:12 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
Тройку чисел $a, b, c$ из отрезка [ -1,1] − назовём отборной, если для этих чисел выполняется неравенство:
$$1+2abc \ge a^2 +b^2 +c^2.$$Доказать, что если тройки $a, b, c$ и $x, y, z$ являются отборными, то и тройка $ax, by, cz$ также отборная.

Источник - Ukraine Test http://probability.univ.kiev.ua/userfil ... rounds.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство
Сообщение12.05.2012, 16:15 


26/08/11
2149

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство
Сообщение12.05.2012, 16:24 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
Shadow в сообщении #570065 писал(а):

(Оффтоп)

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство
Сообщение13.05.2012, 18:42 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
Это не так сложно доказывается.

(Оффтоп)


Поэтому предлагаю Edward_Tur что посложнее: в условиях задачи доказать, что
$$
1+2abcxyz-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2\ge 1+2abc-a^2-b^2-c^2.
$$

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство
Сообщение15.05.2012, 16:16 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Ну кое-как разделил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group