Решить уравнение в целых числах

[Keter]

$9x^2-28y=15$

$9x^2=28y+15$

$28y$ чётно, значит $28y+15$ - нечетно, следовательно, $x -$ нечетно.
Кроме того, $y$ обязано быть положительным.

Как такие задания решать?

[gris]

Поанализируйте остатки от деления на 4

[Sonic86]

Выразите $y$ явно. При каких условиях $y$ - целое число. Выпишите решения явно (если они есть).

[Keter]

gris в сообщении #569496 писал(а):

Поанализируйте остатки от деления на 4

Чего именно остатки? Числа $9x^2$? Тогда 1 в остатке.

[gris]

Правильно. А у правой части?
Раз уже ясно, то мне вдруг привидилось некое преобразование.

$9x^2=28y+15$

$9x^2-1=28y+28-14$

$(3x-1)(3x+1)=14(2y_1-1)$

Слева число кратное 4, справа не кратное. Это чтобы с остатками не возиться.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Давно хотел спросить, чем число 4 такое волшебное, что для решения огромной прорвы разнообразнейших задач из разных областей математики достаточно рассмотреть остатки от деления на четыре?

[Keter]

gris в сообщении #569501 писал(а):

Правильно. А у правой части?
$(3x-1)(3x+1)=14(2y_1-1)$

А почему слева число кратное 4?

[Алексей К.]

А потому что иксы нечётные.

[Keter]

Всё ясно.

То есть решений в целых числах нет.

[Doil-byle]

Keter
Если хотите, рассмотрите, например, такое уравнение: $3x^2-4y=3$ - оно решается точно также, но результат не столь унылый.

[Keter]

Doil-byle в сообщении #569557 писал(а):

Keter
Если хотите, рассмотрите, например, такое уравнение: $3x^2-4y=3$ - оно решается точно также, но результат не столь унылый.

Тут ответ: все пары чисел вида $\Big( \alpha; \frac{3(\alpha - 1)}{4} \Big), $ где $\alpha - $любое целое нечетное число.

[Sonic86]

Keter в сообщении #569795 писал(а):

Тут ответ: все пары чисел вида $\Big( \alpha; \frac{3(\alpha - 1)}{4} \Big), $ где $\alpha - $любое целое нечетное число.

Нет, там же $x^2$, а не $x$.

[Doil-byle]

К тому же иксу разрешается давать в остатке три, при делении на четыре.
Лучше подставить $x=4t+1, x=4t+3$.

[Keter]

Блиин(( забыл квадрат написать

$\Big( \alpha; \frac{3(\alpha^2 - 1)}{4} \Big)$

[Shadow]

Правильно, Keter. Но обычно параметризацию делают так:
$\\x=2k+1\\ y=\cdots\\ \forall k \in Z$