2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 n-е простое число
Сообщение04.03.2007, 14:23 
Аватара пользователя
Пусть $p_n$ - $n$-е простое число, $P_n=p_1p_2\ldots p_n$. Тогда
$$p_{n+1}=-\biggl\lfloor\log_2\biggl(\sum_{d|P_n}\frac{\mu(d)}{2^d-1}-\frac12\biggr)\biggr\rfloor.$$

 
 
 
 Re: n-е простое число
Сообщение04.03.2007, 14:43 
Забавная формула. Только надо менять знак под логарифмом.
$$p_{n+1}=-\biggl\lfloor\log_2\biggl(\sum_{d|P_n}\frac 12 -\frac{\mu(d)}{2^d-1}\biggr)\biggr\rfloor.$$
Доказывается легко разложением $\frac{1}{2^d-1}=\sum_{k=1}^{\infty }2^{-kd}$.

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 14:47 
Аватара пользователя
Формула верная, $1/2$ не суммируется.

 
 
 
 
Сообщение04.03.2007, 15:09 
Да. Я ошибся, считая что при d=1 1/(2-1)=1/2. соответственно получается степенью x=1/2 коэффициент $\sum_n x^m \sum_{d|m, d\le p_n}\mu (d)$. Поэтому первый коэффициент для которого коэффициент отлично от нуля это m=p(n+1).

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group