2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$
Сообщение29.04.2012, 09:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #565441 писал(а):
С непрерывной $f$ и дополнительным условием $x_{n+1} - x_n \to 0$

Вот как я понял решение этой задачи:
Пусть $\varepsilon >0$ такое, что $\varepsilon$-окрестности точек $a,x,b$ не пересекаются. Для этого $\varepsilon$ подберём $N$, такое что для любого $n>N$ $|x_{n+1}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$. Выберем такие $k,m$, что $x_k\in U_a$, $x_m\in U_b$, $N<k<m$. Пусть для любого $l, k<l<m$ $x_l\not\in U_x$. Разбиваю множество натуральных из $[k,m]$ на два подмножества, для одного из которых все $x_l$ лежат левее $U_x$, для другого- правее. Тогда существует $s$, такое что $x_{s}<x-\varepsilon$, $x_{s+1}>x+\varepsilon$. Дейтвительно, разбиваем множество натуральных в отрезке $[k,m]$ на 2 подмножества $A$ и $B$. $A$ состоит из чисел $s$, для которых $x_s$ лежит левее $x-\varepsilon$. $A$ не пусто. $B$ не пусто, т.к. $\limsup x_n$- предельная точка. Предположим что не существует такого $s$, что $x_{s}<x-\varepsilon$, $x_{s+1}>x+\varepsilon$. Тогда т.к. $x_k<x-\varepsilon$, то по предположению, что $U_x$ не содержит $x_t$, при $k<t<m$, получаем, что $k+1\in A$. Пусть $k<l<m, l\in A$, тогда $x_{l+1}\in A$. Это означает, что для любого $k<l<m$ следует, что $l\in A$, Значит $B$- пусто. Противоречие. Но этого не может быть, т.к. из $|x_{n+1}-x_n|<\frac{\varepsilon}{2}$ следует, что $x_{s+1}<x-\varepsilon$. Т.к. любая точка отрезка $[\liminf x_n,\limsup x_n]$ предельная, то существует $n_0\in\mathbb{N}$, такое что $x_{n_0}\in [\liminf x_n,\limsup x_n]$ и подпоследовательность $x_{n_k}\to x_{n_0}$. Тогда $f(x_{n_k})\to f(x_{n_0})=x_{n_0+1}$ в силу непрерывности $f$. Т.к. $f(x_{n_k})=x_{n_k+1}=x_{n_k}+o(1)\to x_{n_0}$ в силу стремления к нулю шага, то в силу единственности предела сходящейся подпоследовательности $f(x_{n_k})$ получаем, что $x_{n_0+1}=x_{n_0}$. Пусть $x_{n_0+k}=x_{n_0}$ для некоторого $ k\in\mathbb{N}$, тогда $x_{n_0+k+1}=f(x_{n_0+k})=f(x_{n_0})=x_{n_0+1}=x_{n_0}$. Это означает, что начиная с $n_0$ последовательность стабилизируется, т.е. будет сходящейся к $x_{n_0}$ но это противоречит предположению о том, что $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ имеет 2 или более различных предельных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$
Сообщение29.04.2012, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Профессор Снэйп в сообщении #565414 писал(а):
g______d в сообщении #565410 писал(а):
Теперь посмотрим на предельную точку $y$ нашей последовательности и произвольную ее окрестность. Эта окрестность слева и справа от $y$ содержит либо точку $U$, либо интервал, на котором $f(x)=x$.

Вот это непонятно.


$U=\{x\colon f(x)\neq x\}$

Я забыл изначально предположить, что все время $x_n\in U$ (иначе доказывать нечего).

Пусть есть окрестность $(y-\varepsilon;y+\varepsilon)$. Если на промежутке $(y-\varepsilon;y)$ есть точка $U$, то берем её. Если нет, то на всем интервале $(y-\varepsilon;y)$ выполняется $f(x)=x$. Аналогично для $(y;y+\varepsilon)$.

Если $y$ случайно оказалось на границе области определения функции, то нам нужно условие только с одной стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$
Сообщение30.04.2012, 16:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #565410 писал(а):
Ловите липу (если она есть).

Если я правильно понял, речь о монотонном варианте задачи. Тогда монотонность (и, следовательно, сходимость) следует просто из того, что множества $\{x:\;f(x)>x\}$ и $\{x:\;f(x)<x\}$ открыты и, следовательно, каждое из них состоит из непересекающихся интервалов (с возможным присоединением к граничным интервалам соответствующих концов отрезка, т.е. открыты в топологии $[a;b]$). И если начальная точка последовательности попадёт в один из этих интервалов, то вся последовательность из него уже не выйдет: например, для множества $\{x:\;f(x)>x\}$ каждая следующая точка будет правее предыдущей, но (в силу монотонности функции) левее правой границы этого интервала, который совпадает со значением функции в этой границы или с правой границей всего отрезка.

(не знаю, было ли уже это -- перечитать все пять страниц не в силах)

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$
Сообщение30.04.2012, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ewert в сообщении #565847 писал(а):
g______d в сообщении #565410 писал(а):
Ловите липу (если она есть).

Если я правильно понял, речь о монотонном варианте задачи.


Нет, где я использовал монотонность? Я говорил, что если в некоторой точке $f(x)\neq x$, то в некоторой ее окрестности $f(x)$ отделена от $x$. Поэтому, если размер прыжка достаточно маленький, мы не сможем ни попасть в точку этой окрестности (т. к. во всех точках этой окрестности прыжок должен быть достаточно большим), ни перепрыгнуть эту окрестность (т. к. у нее некоторый фиксированный диаметр), и, значит, будем оставаться по одну сторону от нее. И так для каждой точки с таким свойством.

Впрочем, Ваше решение проще. Действительно, есть известный простой факт, что если $x_{n+1}-x_n\to 0$ и $\forall n$ $x_n\in[a,b]$, то множество всех предельных точек последовательности $x_n$ является отрезком.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group