Матрица плотности для осциллятора.

[longstreet]

Задача 2. Определить значение средней потенциальной энергии линейного гармонического осциллятора.

Решение:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat E_{\text{кин}}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq $$

С учётом $m=1$:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial q^2}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq $$

Подставив $\rho\left(q,q'\right)$ имеем:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\partial^2}{\partial q^2}\exp{\left[-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}-\frac{\omega\left(q-q'\right)^2}{4\hbar}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}\right)_{q'=q}dq $$

Введем обозначения:

$$ a=\frac{\omega}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\qquad\text{;}\qquad b=\frac{\omega}{4\hbar}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}} $$

В новых обозначениях:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\partial^2}{\partial q^2}\exp{\left[-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2\right]}\right)_{q'=q}dq= $$

$$ =-\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\left[4q\left(a+b\right)^2+q'\left(a^2-b^2\right)\right]\exp{\left[-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2\right]}\right)_{q'=q}dq= $$

$$ =-\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}8aq\left(a+b\right)\exp{\left[-4aq^2\right]}dq= $$

$$ =-4\hbar^2\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}a\left(a+b\right)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}q \exp{\left(-4aq^2\right)}dq $$

Здесь мы имеем дело с интегралом вида

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}xe^{-\alpha x^2}dx $$

Он равен нулю. Думаю что у меня не так...

[Ilia_]

Производную неверно взяли. Там стоит вторая производная. Распишите подробно:

$$\frac{\partial^2}{\partial q^2}e^{-a(q+q\prime)^2-b(q-q\prime)^2}$$

[longstreet]

У меня интернет отключили( Сидел, решал заново, ищя ошибку, нашёл; быстро выхожу с интернете телефоне написать чтобы не проверяли, что понял где ошибся, а уже поздно — сообщение проверили( Извините, пожалуйста. Перепишу что получилось когда интернет нормальный дадут, с телефона не удобно(

[longstreet]

Ilia_ в сообщении #562535 писал(а):

Производную неверно взяли. Там стоит вторая производная. Распишите подробно:

$$\frac{\partial^2}{\partial q^2}e^{-a(q+q\prime)^2-b(q-q\prime)^2}$$

Да, я неверно в прошлый раз взял. Вот как правильно:

$$ \frac{\partial^2}{\partial q^2}e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}= $$

$$ =\frac{\partial}{\partial q}\left[e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}\left[-2aq-2aq'-2bq+2bq'\right]\right]= $$

$$ =e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}\left[-2aq-2aq'-2bq+2bq'\right]^2+e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}\left[-2a-2b\right]= $$

$$ =e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}\left[\left(-2aq-2aq'-2bq+2bq'\right]^2+\left(-2a-2b\right)\right]= $$

$$ =\left[\left[-2a\left(q+q'\right)-2b\left(q-q'\right)\right]^2-2a-2b\right]e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2 $$

-- 22.04.2012, 11:48 --

Заново всё

Задача 2. Определить значение средней потенциальной энергии квантового линейного гармонического осциллятора.

Решение:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\hat E_{\text{кин}}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq $$

С учётом $m=1$:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial q^2}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q'=q}dq $$

Подставив $\rho\left(q,q'\right)$ имеем:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\partial^2}{\partial q^2}\exp{\left[-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}-\frac{\omega\left(q-q'\right)^2}{4\hbar}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}}\right]}\right)_{q'=q}dq $$

Введем обозначения:

$$ a=\frac{\omega}{4\hbar}\tanh{\frac{\hbar\omega}{2T}}\qquad\text{;}\qquad b=\frac{\omega}{4\hbar}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}} $$

В новых обозначениях:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\partial^2}{\partial q^2}\exp{\left[-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2\right]}\right)_{q'=q}dq $$

Подставим вычисленную в предыдущем сообщении вторую частную производную:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-a\left(q+q'\right)^2-b\left(q-q'\right)^2}\left[\left(-2a\left(q+q'\right)-2b\left(q-q'\right)\right)^2-2a-2b\right]}\right)_{q'=q}dq= $$

$$ =-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-4aq^2}\left[16a^2q^2-2a-2b\right]dq= $$

$$ =-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\left[16a^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}q^{2}e^{-4aq^2}dq-2a\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-4aq^2}dq-2b\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-4aq^2}dq\right]= $$

второй и третий интегралы прямо гауссова типа

$$ =-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\left[16a^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}q^{2}e^{-4aq^2}dq-2a\sqrt{\frac{\pi}{4a}}-2b\sqrt{\frac{\pi}{4a}}\right]= $$

оставшийся интеграл приводится к гауусову виду, если перед этим его взять по частям (при этом первая часть даст нуль):

$$ =-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\left[\sqrt{a}\sqrt{\pi}-2a\sqrt{\frac{\pi}{4a}}-2b\sqrt{\frac{\pi}{4a}}\right]= $$

$$ =-\hbar^2\left(\frac{a}{\pi}\right)^{1/2}\left[\sqrt{a}\sqrt{\pi}-\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}\left(a+b\right)\right]= $$

$$ =\hbar^2b $$

Тогда в изначальных обозначениях:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\frac{\hbar\omega}{4}\coth{\frac{\hbar\omega}{2T}} $$

Переведем $T$ из джоулей в кельвины:

$$ {\langle E\rangle}_{\text{кин}}=\frac{\hbar\omega}{4}\coth{\frac{\hbar\omega}{2kT}} $$

Рассмотрим предел высоких температур, т.е. $kT\gg\hbar\omega$. Для этого разложим $\coth$ :

$$ \coth{\left(x\right)}=x^{-1}+\frac{1}{3}x+\text{O}\left(x^3\right) $$

$$ coth\left(\frac{\hbar\omega}{2kT}\right)=\frac{2kT}{\hbar\omega}+\frac{\hbar\omega}{4}\frac{1}{3}\frac{\hbar\omega}{2kT}+\text{O}\left(x^3\right) $$

Используем только первый член разложения, тогда:

$$ \langle E\rangle}_{\text{кин}}=\frac{\hbar\omega}{4}\frac{2kT}{\hbar\omega} $$

Итак, получаем

$$ \boxed{\langle E\rangle_{\text{кин}}=\frac{kT}{2}} $$

Вот она, вот она, $\frac{kT}{2}$ моей мечты!!!

[Himfizik]

longstreet в сообщении #562589 писал(а):

Итак, получаем

Поздравляю!

[longstreet]

Спасибо!!!

-- 22.04.2012, 13:06 --

А используемая матрица плотности - это ведь матрица плотности к конкретной задаче только - к линейному осциллятору, а для других случаев/задач она конечно другой будет, да?

-- 22.04.2012, 13:08 --

А правильно что точное и полное название рассматриваемого в задаче случая: квантовый линейный гармонический осциллятор?

Или нужно добавлять "в основном состоянии"?

-- 22.04.2012, 13:08 --

А линейный=одномерный, да ведь?

-- 22.04.2012, 13:09 --

Не можете ли посоветовать, где можно почитать про физический смысл этой задачи? В ЛЛ очень мало и физсмысл приходится из задач и выкладок вытаскивать, он там не прописан текстом, или я не нашёл.

[Ilia_]

Присоединяюсь к поздравлению!

longstreet в сообщении #562653 писал(а):

А используемая матрица плотности - это ведь матрица плотности к конкретной задаче только - к линейному осциллятору, а для других случаев/задач она конечно другой будет, да?

Да, конечно. Общее определение для канонического ансамбля

$$\hat\rho=\frac{\exp\left(-\frac{\hat H}{kT}\right)}{\operatorname{Sp} \exp\left(-\frac{\hat H}{kT}\right)},$$

где $\hat H$ - гамильтониан конкретной системы. В зависимости от того, в каком представлении нам нужна матрица плотности, выбираем обкладки оператора. В данном случае было

$$\rho(q,q\prime)=\langle q\prime|\hat \rho|q\rangle$$

Но вообще матрица плотности вовсе не обязательно связана с температурой. Её основное преимущество состоит в том, что её можно описывать те системы, которые описать с помощью волновой функции нельзя.

Цитата:

А правильно что точное и полное название рассматриваемого в задаче случая: квантовый линейный гармонический осциллятор?

Да. Здесь каждое слово значимо. Такая формулировка однозначно задаёт гамильтониан и указывает на то, что задачу необходимо решать в рамках квантовой механики. В классическом случае тоже можно определить похожую по смыслу величину, хотя выражения для средних несколько отличаются.

Цитата:

Не можете ли посоветовать, где можно почитать про физический смысл этой задачи? В ЛЛ очень мало и физсмысл приходится из задач и выкладок вытаскивать, он там не прописан текстом, или я не нашёл.

Можете почитать "Статистическую механику" Кубо. Глава II, $\S 7$. Вроде достаточно полно написано.

[longstreet]

Спасибо! Особенное $-$ за книгу!

-- 22.04.2012, 16:04 --

Я чего-то не пойму... Вот у нас формула $\overline A=\operatorname{Sp} \hat A\hat\rho$. В ней стоят оператор величины A и оператор матрицы плотности. А мы подставляем просто выражение для матрицы плотности

$$\rho(q,q')=\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{\omega(q+q')^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)$$

Или это и есть оператор и правильно будет писать

$$\widehat\rho(q,q')=\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{\omega(q+q')^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)$$

?

[longstreet]

А как правильнее/употребимее: "значение средней потенциальной энергии" или "среднее значение потенциальной энергии"?

[Ilia_]

На самом деле усреднение проводится и по состоянию и по ансамблю состояний. Так что "среднее значение средней потенциальной энергии". Но так не говорят.

Вопрос про шляпку оператора, это вопрос из разряда: как правильно писать $U=m\omega^2q^2/2$ или $\hat U=m\omega^2\hat q^2/2$. Когда мы явно определили, что работаем в координатном представлении, матрица плотности стала просто функцией. То есть можно записать:

$$\overline U=\operatorname{Sp} \hat U\hat\rho=\int_{-\infty}^{+\infty}dq\langle q|\hat U\hat\rho|q\rangle= \int_{-\infty}^{+\infty}dq\int_{-\infty}^{+\infty}dq\prime\langle q|\hat U|q\prime\rangle\langle q\prime|\hat\rho|q\rangle=\iint_{-\infty}^{+\infty}dq\,dq\prime\,\delta(q-q\prime)U(q)\rho(q,q\prime)=$$

$$=\int_{-\infty}^{+\infty}dq\,U(q)\rho(q,q)$$

[longstreet]

Спасибо!

-- 22.04.2012, 23:40 --

А $kT\gg\hbar\omega$ почему указывается как переход к большим температурам? Ведь вроде это это скорее переход к малым длинам волн, т.е. когда квантовыми эффектами можно пренебречь. Или правильнее сказать "переход к большим температурам и малым длинам волн"?

[A'Y]

А в этой задаче про осциллятор частица только одна(!) ведь? И $m$ - масса частицы, так?

[longstreet]

Вроде необязательно. Это может быть система частиц. Но я точно не знаю.

-- 23.04.2012, 01:46 --

Ilia_ в сообщении #562459 писал(а):

$$\lim_{x\to 0}\frac{kT}{4}\frac{x}{\th\frac x2}=\lim_{x\to 0}\frac{kT}{4}\frac{1}{0.5\cth\frac x2}=\frac{kT}2$$

Здесь значок квадрата случайно не забыт? а то у меня получается в знаменателе $\frac{1}{2}\cth^2{\frac{x}{2}}$

[Ilia_]

Да, конечно. Ошибся. Mea culpa.

$$\frac{d}{dx}\th{x}=\frac{d}{dx}\frac {\sh{x}}{\ch x}=1-\frac{\sh^2 x}{\ch^2 x}=\frac{1}{\ch^2 x}$$

Так что в знаменателе $0.5 \ch^{-2}\frac x2$ Но при $x\to 0$ это всё равно $0.5$.

-- 23.04.2012, 16:15 --

Цитата:

А $kT\gg\hbar\omega$ почему указывается как переход к большим температурам? Ведь вроде это это скорее переход к малым длинам волн, т.е. когда квантовыми эффектами можно пренебречь. Или правильнее сказать "переход к большим температурам и малым длинам волн"?

Рассматривать можно и так и так. Но в жизни проще подкрутить температуру, чем параметры осциллятора.

A'Y в сообщении #562865 писал(а):

А в этой задаче про осциллятор частица только одна(!) ведь? И $m$ - масса частицы, так?

На самом деле мы рассматриваем целый ансамбль одночастичных осцилляторов с одинаковыми параметрами, находящихся в состоянии теплового равновесия, когда каждый из них может находится в состоянии с энергией $E_n$ с вероятностью $\frac1z\exp\left(-\frac{E_n}{kT}\right)$, где $z=\Sigma_i \exp\left(-\frac{E_i}{kT}\right)$ - статсумма (нормировочный коэффициент данного распределения, фактически). Дополнительным усложняющим фактором является то, что эти осцилляторы - квантовые.

Но в каждом осцилляторе - частица всего одна, с массой $m$.

В принципе, такой ансамбль эквивалентен большому числу невзаимодействующих частиц, находящихся в тепловом равновесии в общем потенциальном поле $m\omega^2q^2/2$. Но, во-первых, если они не взаимодействуют, с чего бы им находиться в тепловом равновесии, а во-вторых реальные частицы (и квазичастицы) являются либо бозонами, либо фермионами, что налагает дополнительные условия. Поэтому формулировка с разными осцилляторами мне нравится больше.

[longstreet]

Интересно стало, как в трёхмерном случае решать эту задачу. Наверное, в общей формуле для среднего появится тройной интеграл? А как матрицу плотности получить не для линейного, а для трёхмерного случая? Или это намного-намного сложнее будет?

А двумерный случай этой задачи рассматривают?

-- 25.04.2012, 10:07 --

А если решать эту задачу (нахождения энергий осциллятора) через теорему о вириале, то это будет путь, совсем не использующей выражение для матрицы плотности, или оно неявно, подспудно, будет всё-таки использовано (например, какая-то другая используемая формула будет следствием этой матрицы плотности)?