2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 18:03 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Я хотел просто привести пример того,чем может определяться длина цепочки чисел Жермен,а конкретно было показано только,что если первое число цепочки имеет вид $10x-1$ и $x$ не делится на 11,то длина цепочки не превышает 9.Не исключено,что если взять,например,$x=11\#$,то можно получить и более длинные цепочки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 18:22 


31/12/10
1555
Вполне возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 18:57 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Хорошо.
Пусть $g_0 = 2^k \cdot p_x \cdot M$
где $p_x$ - нечетное простое число; $k\geq0$
такое, что $g_1=2g_0+1$ и $g_2=2g_1+1=4g_0+3$ - простые
Пусть далее $g_{i+1}=2g_{i}+1$, $i\geq2$
Обязательно ли в последовательности $g_1, g_2, g_3, ...$ встретится составное число?
Если да, то почему?

Я ничего не упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 19:17 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Cash в сообщении #556084 писал(а):
Пусть $p_i = 2^{k+i} \cdot m -1$
где $i = 0,1,2, ...$; $k>0$; $m$ - нечетно
Доказать (не пользуясь гипотезой Артина), что для любых $m$ и $k$ в последовательности ${p_0, p_1, p_2, ...}$ встретится составное число.


Число $2m-1$ нечетно и содержит некоторый нечетный простой делитель $q$,возмем $i$ такое,что $k+i-1=l(q-1)$,тогда $2^{k+i-1}=2^{l(q-1)}\equiv 1\pmod  q$ и $p_i\equiv 2m-1\equiv 0\pmod q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 20:50 


31/12/10
1555
Полностью согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение04.04.2012, 21:17 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Да, все просто оказалось

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа Жермен
Сообщение10.04.2012, 07:37 


31/12/10
1555
Подведем итог нашей дискуссии.
Для чисел Жермен типа $10x+9$.
Нулевой вычет цепочки $g_0=(g_1-1)/2$.
Наименьший нечетный делитель нулевого вычета $p_x.$
Общий член последовательности чисел Жермен:

$g_n=2^ng_0+2^n-1$

При определенном $n$ будем иметь $2^n\equiv 1 (\mod p_x)$, т.е.

$g_n\equiv g_0 (\mod p_x)$

Следовательно, максимальное число элементов цепочек чисел Жермен равно $n-1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group