2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Берём два цилиндра радиуса $R$. И перескаем их под прямым углом (без смещения, их центральные оси должны пересечься). Как найти объем их общей части?
У меня даже представит не получается. А как её объём искать непонятно совсем. Если интегралом, то можно разрезать получившиеся тело пополам. В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу. Но непонятно, какая будет функция "высоты" $f(x,y)$, которую по этому кругу надо интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 14:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся $4\int\limits_0^Rdx\int\limits_{-x}^xdy\cdot2\sqrt{R^2-x^2}$. А это легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 14:40 


19/05/10

3940
Россия
ewert в сообщении #338749 писал(а):
Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок


Лучше апельсин из четырех долек)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Ну, в принципе, можно и без интеграла. Рассечём эту подушку на слои плоскостями, параллельными осям цилиндров. Каждый слой будет квадратный. Впишем в каждый такой квадрат круг. Объём подушки -- эта сумма объёмов всех (квадратных) слоёв, а сумма всех круглых слоев будет шаром радиуса $R$. Понятно, что отношение объёма подушки к объёму этого шара ($4\pi R^3/3$) равно отношению площадей квадратных сечений к площадям круглых сечений ($=(2R)^2/(\pi R^2)=4/\pi$). Отсюда выражаем объём подушки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 15:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
можно всё, я просто написал, что получается тупо и в лоб

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 15:33 


19/05/10

3940
Россия
caxap в сообщении #338746 писал(а):
В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу.


Смотря в каком основании, если смотреть сверху на крест из цилиндров, то
в основании будет квадрат

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение12.07.2010, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Посчитал интеграл ewertа, получилось $\frac {16 R^3}{3}$. Потом посчитал по методу meduza, получилось то же! Cпасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение13.07.2010, 05:45 


02/11/08
1187
http://dxdy.ru/topic23140.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение06.04.2012, 20:34 


17/03/10
78
Извиняюсь за некропостинг, но:
ewert в сообщении #338749 писал(а):
Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся $4\int\limits_0^Rdx\int\limits_{-x}^xdy\cdot2\sqrt{R^2-x^2}$. А это легко.

Понятно, что это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный. Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров и так интегрировать вообще не радует.. Не подскажете, есть ли способ поэлегантнее? Думал насчет какой-нибудь цилиндрической замены координат, но не очень хорошо получается..

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 08:51 


17/03/10
78
Стоп-стоп, откуда именно такой интеграл вообще? Под корнем должна быть другая переменная, насколько я могу прикинуть, y в данном случае. Или тут проделаны какие-то не слишком очевидные, на первый взгляд, рассуждения о симметрии? У меня, как я не расставляю интегралы, получается интеграл от этого корня по переменной, которая стоит под корнем..

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 11:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lega4 в сообщении #557170 писал(а):
это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный.

Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан -- сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается.

lega4 в сообщении #557170 писал(а):
Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров

Смотря какой половинки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 13:51 


17/03/10
78
ewert в сообщении #557365 писал(а):
lega4 в сообщении #557170 писал(а):
это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный.

Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан -- сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается.

Вот-вот, тот, что вы написали, да, так и считается. Но у меня, как ни расставляю, получается интеграл от корня по переменной под корнем, что сильно противнее.

ewert в сообщении #557365 писал(а):
lega4 в сообщении #557170 писал(а):
Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров

Смотря какой половинки.

$x^2+y^2=R^2, y^2+z^2=R^2, z\geq0$ - вот такой половинки

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 14:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lega4 в сообщении #557432 писал(а):
$x^2+y^2=R^2, y^2+z^2=R^2, z\geq0$ - вот такой половинки

Тогда ясно, что $x_c=0$ и $y_c=0$. А что касается $z_c$, то разбейте Вашу область на четыре осьмушки, тогда получится $z_c=\frac12(x_0+z_0)$, где $x_0,\;z_0$ -- координаты центра тяжести одной осьмушки. Интегралы будут чуть похуже, но всё равно легко берутся заменой $x=R\sin t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 14:31 


17/03/10
78
ewert в сообщении #557439 писал(а):
А что касается $z_c$, то разбейте Вашу область на четыре осьмушки, тогда получится $z_c=\frac12(x_0+z_0)$, где $x_0,\;z_0$ -- координаты центра тяжести одной осьмушки.

Как-то интуитивно не очень понятно, что $z_c$ вычисляется именно так, можно поподробнее немного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объём пересечения цилиндров
Сообщение07.04.2012, 15:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Все четыре осьмушки одинаковы. При этом, скажем, первая получается отражением второй относительно биссектрисы координатного угла, при котором $x_0$ и $z_0$ меняются ролями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group